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Quantunque questa riduzione si effettui (con sostituzioni lineari su u , v 

 e sui periodi) in più modi diversi, l'intero positivo ó che qui figura, risulta 

 sempre lo stesso ; esso è un carattere del sistema delle funzioni /', , / 2 , f 3 . 

 Lo diremo il divisore di queste funzioni, ed F si chiamerà una superficie 

 iper ellittica di divisore à. 



2. Le superfìcie iperellittiche di rango 1 (talvolta considerate esclusi- 

 vamente sotto il nome di « superficie iperellittiche») hanno formato oggetto 

 di classici lavori per parte del sig. Picard e del sig. Humbert. Il primo di 

 questi autori le ha studiate come superfìcie dotate di un gruppo permutabile 

 co 2 di trasformazioni birazionali in se stesse ; perciò appunto tali superficie 

 hanno ricevuto il nome di superficie di Picard. 



Le superfìcie di Picard corrispondenti a un divisore ó qualsiasi, si pos- 

 sono costruire geometricamente nel modo seguente: 



Si consideri la superficie di Jacobi F che rappresenta le coppie di 

 punti di una curva di genere 2 ; questa è la più generale superfìcie di Picard 

 di divisore 1. 



Ora F ammette un gruppo continuo di trasformazioni birazionali in sè 

 (trasformazioni di 2 a specie), fra cui vi è un numero finito di trasformazioni 

 cicliche d'ordine ó. Ebbene, una trasformazione siffatta genera su F un'in- 

 voluzione Ig d'ordine ; una qualsiasi superfìcie Fò , i cui punti corrispondano 

 biunivocamente ai gruppi di Iò, è una superficie di Picard di divisore c)'. 



Tale costruzione fornisce tutte le superfìcie di Picard di divisore qual- 

 siasi, e conduce subito ad illustrarne le note proprietà, sotto l'aspetto geo- 

 metrico. 



Essa conduce anche a proprietà nuove, fra cui sembra particolarmente 

 importante la seguente (che tuttavia esige una dimostrazione un po' delicata) : 



Sopra una superficie di Picard a moduli generali, di divisore ó, 

 tutti i sistemi continui di curve si ottengono per moltiplicazione da Un 

 sistema continuo cc^ 1 \Gò{ di genere ò -4-1, e grado 2ò. 



Ne segue in particolare che: 



Una superfìcie di Picard di divisore ó > 3 , può trasformarsi in una 

 superfìcie d'ordine 2 3 senza curve eccezionali, ma non in una superfìcie senza 

 curve eccezionali d'ordine <^2<?. 



Per ó = 3 , 2 si hanno superfìcie di Picard, senza curve eccezionali, 

 d'ordine minimo 24 e 16 rispettivamente ; per ó = l l'ordine minimo di una 

 superfìcie di Jacobi a moduli generali e senza curve eccezionali è 18, perchè 

 la superfìcie d'ordine 8 le cui sezioni piane appartengono ad un sistema 

 [2Ci|, si riduce ad una superfìcie del 4° ordine (di Kummer) contata due 

 volte. 



Le condizioni affinchè uua superfìcie sia iperellittica di rango 1, sono 

 state date da un teorema del sig. Picard. Uno di noi (Enriques) ha fatto 

 vedere ch"esse possono tradursi come segue: 



