Affinchè una superficie sia iperellittica di rango i, occorre e basta 

 che i suoi generi (il genere numerico p a , il genere geometrico p g e il qua- 

 drigenere P 4 ) abbiano i valori 



Eiesce quindi interessante riconoscere che tali condizioni determinano 

 infinite famiglie di superfìcie, dipendenti da un intero arbitrario (il divisore ó) 

 e da tre parametri (moduli). 



3. Lo studio delle superfìcie iperellittiche di rango r^>l, si riattacca 

 a quello delle superfìcie di Picard, o in particolare delle superficie di Jacobi, 

 mercè l'osservazione seguente: 



Ogni superfìcie iperellittica di rango r e divisore ó corrisponde ad una 

 involuzione d'ordine r sopra una superfìcie di Picard F3 , e quindi ad una 

 involuzione d'ordine r d sopra una superfìcie di Jacobi. 



Consideriamo l'involuzione l r su Fs che corrisponde ad una superfìcie 

 iperellittica di rango r. Sussistono le due proprietà seguenti : 



1) la I r ha un numero finito (-> 0) di coincidenze, se (come- si è 

 avvertito) si escludono dal novero delle superfìcie iperellittiche le superfìcie 

 razionali e le rigate ellittiche ; 



2) la ì r non è composta coi gruppi di una involuzione Lj, generata 

 da una trasformazione ciclica di 2 a specie di Fs . 



Orbene, da queste proprietà si trae che « l'involuzione I r è generata 

 da r trasformazioni birazionali della Fs in se stessa, costituenti un gruppo 

 finito d'ordine r ». 



Si ha dunque il teorema fondamentale: 



Ogni superficie iperellittica di rango r>l « divisore ó , corrisponde 

 ad una involuzione generata da un gruppo di r trasformazioni birazionali 

 sopra una superficie di Picard Fs. 



Sia F {x y z) = 0 una superficie iperellittica, ed essendo % , y , s funzioni 

 abeliane di due parametri ù, v, accada che ad ogni gruppo di valori 

 di z,y,z, corrispondano r coppie (u v) incongrue rispetto ai periodi pri- 

 mitivi di queste funzioni: 



= -1 ^ = P 4 = 1. 



Cioè: 



(Ux v\ 



) (u 2 v 2 ) 



(Ur V r ) ? 



allora tali coppie saranno legate da r — 1 sostituzioni lineari 



a coefficienti indipendenti da (x y z). 



Queste sostituzioni formano gruppo insieme alla sostituzione identica, e 



