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le costanti ai, fa, d-, di si possono esprimere mediante combinazioni lineari 

 a coefficienti interi dei periodi. 



La dimostrazione di questo teorema fondamentale è assai delicata, so- 

 prattutto perchè non si può escludere a priori che l'involuzione I r possegga 

 dei punti fondamentali appartenenti ad oo 1 gruppi dell'involuzione. Indi- 

 cheremo qui le grandi linee del procedimento dimostrativo che abbiamo se- 

 guito, e a tale scopo potremo riferirci al caso più semplice in cui la I r è 

 data sopra una superficie di Jacobi F . 



Consideriamo su questa un sistema JC 1 ( = )C( costituito da oo 2 curve 

 di genere due senza punti doppi, e costruiamo la curva K coniugata ad una 

 generica C rispetto ad l r , cioè il luogo dei gruppi di r — 1 punti coniugati 

 ai punti di C. 



La dimostrazione del nostro teorema fondamentale si riconduce a sta- 

 bilire che la K si compone di r — 1 curve birazionalmente identiche a C. A 

 priori invece si potrebbe supporre K irriducibile, o spezzata in meno di r — 1 

 componenti. 



Limitiamoci all'ipotesi che K sia irriducibile, ed indichiamo la via che 

 da codesta ipotesi fa scaturire un assurdo, in relazione alle proprietà 1) 2) di I r . 



Se il sistema )K[ che viene descritto dalla curva K mentre C descrive )C}, 

 è costituito da curve generalmente irriducibili, si possono fare due suppo- 

 sizioni : 



a) questo sistema è trasformato in se medesimo dalle oo 2 trasfor- 

 mazioni di 2 a specie di F; 



b) esiste un sistema jKj, più ampio di )K[, che contiene infinite 

 curve birazionalmente identiche ad orai K. 



Ma la supposizione et) conduce a contraddire la proprietà 2), che in- 

 nanzi abbiamo detto valere per \ r . 



La supposizione b) porta a questo, che esiste una serie continua di 

 curve K avente per limite una K. Costruiamo la curva coniugata ad una 

 genetica K della serie, rispetto ad I,.; sia L questa curva. Mentre K tende 

 a K , L deve tendere alla curva C -j- (r-2) K . Ora mediante considerazioni 

 di Analysis situs, si deduce di qui che L non può essere una curva irridu- 

 cibile (cioè una superficie di Riemann connessa), perchè altrimenti qualcuno 

 dei punti comuni a C, K, risulterebbe un punto di coincidenza di I r , 

 mentre (per la proprietà 1)) una C generica non contiene di tali punti. Un 

 esame più approfondito mostra che L deve spezzarsi precisamente in una C 

 ed in un'altra curva; ma allora K deve essere curva coniugata di una C, 

 cioè appartenere a )K(, e si ricade nell'ipotesi a). 



4. Il teorema fondamentale sopra espresso permette virtualmente di 

 determinare tutte le famiglie birazionalmente distinte di superficie iperellit- 

 tiche di rango r>l. Queste superficie possono essere regolari o irregolari. 



