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Le superfìcie iperellittiche irregolari di rango r^> 1 sono superfìcie el- 

 littiche, e, come facilmente si prova, contengono, oltreché un fascio razionale di 

 curve ellittiche, anche un fascio ellittico di curve parimente ellittiche. 



Il rango delle superficie iperellittiche predette può valere r = 2 , 3 , 

 4,6, giacché esse si presentano come immagini di involuzioni cicliche d'or- 

 dine 2, 3, 4, 6. Si ottengono i tipi più semplici partendo da una superfìcie 

 di Jacobi con due fasci di curve ellittiche unisecantisi (') o dalla superfìcie 

 di Jacobi che corrisponde ad una curva di genere 2 possedente un'involu- 

 zione singolare di 2° ordine. 



A proposito delle superfìcie ellittiche contenenti due fasci di curve ellit- 

 tiche si noti che esse si possono classificare, secondo i risultati di Enriques ( 2 ), 

 in 4 famiglie alle quali appartengono appunto i 4 tipi suindicati. 



1 plurigeneri di codeste famiglie, secondo le formule di Enriques (§§ 8, 9) 

 sono rispettivamente: 



1) 



Pa = 



— 1, 



P 9 = 0, P 2 = 



= P 6 = 



1 



2) 



Pa = 



-1, 



p g = P 8 = 0 , 



P 3 = 



1 



3) 



Pa = 



— 1, 



Pg = ?6 — ?10 



= 0, 



p 4 = i 



4) 



Pa — 



— 1, 



Pg == P4 == Pi 4 



= 0, 



p e = l 



Questi valori elei plurigeneri caratterizzano le superficie ellittiche 

 possedenti due fasci di curve ellittiche. 



Infatti, se una superficie ellittica contiene, accanto ad un fascio razio- 

 nale di curve ellittiche, un fascio ellittico di curve di genere maggiore 

 d'uno, si possono presentare 4 casi, corrispondentemente ai quali i generi 

 hanno i valori indicati per le 4 famiglie suddette, eccezione fatta pei ge- 

 neri P 6 , P 8 , P 10 , P 14 che hanno valori > 1 . Come si possa dedurre di 

 qui un modo di definire mediante caratteri le superficie iperellittiche irrego- 

 lari, è una questione su cui ci proponiamo di ritornare in un'altra Nota. 



5. Le superficie iperellittiche irregolari di rango r^> 1 (superficie el- 

 littiche) dipendono per la prima famiglia da 2 moduli e per le altre da un 

 modulo. Esse sono dunque superficie iperellittiche a moduli particolari. 

 Quessto fatto rientra d'altronde nel seguente teorema, che consegue imme- 

 diatamente dal teorema fondamentale del n. 3 : 



(') La possibilità di uno di questi tipi, e precisamente di quello che corrisponde 



| u=u + j- 



al gruppo generato da una sostituzione del tipo < , ci fu annunciata dai si- 



( v — e 3 v 



gnori Bagnerà e De Franchis prima che la nostra analisi si volgesse alle superficie 

 iperellittiche irregolari. 



( 2 ) Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero (Rendiconti del Circolo 

 Mat. di Palermo, 1905). 



