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Le superficie iperellittiche di rango r^>l a moduli generali, sono 

 superficie regolari di rango 2, e di generi p a =p g ==?'P« :'= = 1 . 



Esse corrispondono alle involuzioni generate sopra superfìcie di Picard, 

 da trasformazioni di l a specie: 



u -4- u' = cost , v + v = cost . 



È facile costruire i modelli di tali superficie per un divisore ó qual- 

 siasi. 



Si ottengono superficie di ordine Aó in uno spazio S 2 s+i, dotate di 

 l(f punti doppi conici e di 16 iperpiani tangenti lungo curve razionali nor- 

 mali d'ordine 2ó, formanti una ben definita configurazione. Per ó = 1 si 

 ha, com'è noto, la superficie di Kummer; per ó — 2 , 3 si ottengono superficie 

 di cui recentemente i sig.' Traynard e Remy hanno considerato le proiezioni 

 nello spazio ordinario, in varie note pubblicate nei Comptes Rendus dal 

 1904 in poi. 



6. Si tratta ora di determinare le superficie iperellittiche regolari di 

 rango r^>2, le quali esistono soltanto per particolari valori dei moduli. 

 Perciò occorre stabilire una completa classificazione delle superficie di Picard 

 che ammettono trasformazioni birazionali (singolari) in se stesse all'infuori 

 di quelle ordinarie di l a e 2 a specie, e classificare inoltre le diverse invo- 

 luzioni che possono ottenersi sopra una medesima superficie di Picard, in 

 corrispondenza a gruppi isomorfi di trasformazioni. 



Una superficie di Picard può ammettere due specie diverse di trasfor- 

 mazioni singolari: trasformazioni principali o di Hermite e trasformazioni 

 di Humbert. (Humbert riserva a queste soltanto il nome di « trasformazioni 

 singolari »). 



Riferiamoci, per semplicità di discorso, al caso delle superficie di Jacobi, 

 essendo facile passare di qua al caso del divisore 3 > 1 . Le trasformazioni 

 di Hermite sono quelle che nascono da una trasformazione bir azionale della 

 curva, di genere due, di cui la superficie di Jacobi rappresenta le coppie. 



Si possono avere superficie iperellittiche di rango r > 2 corrispondenti 

 ad involuzioni generate sopra una superficie di Jacobi (o di Picard) da 

 gruppi di Hermite o da gruppi di Humbert. I due casi si distinguono come 

 segue : le superfìcie iperellittiche corrispondenti ai gruppi di Hermite am- 

 mettono una rappresentazione par ametrica propria per mezzo di funzioni 0 ; 

 cioè una rappresentazione 



(1) Q x i = 0 l (uv) (^=1,2,3, ), 



tale che le equazioni (1) per valori dati delle coordinate omogenee Xì di un 

 punto variabile sopra ima di queste superficie, hanno in comune un numero 

 finito di soluzioni (u v) incongrue rispetto ai periodi. 



