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All'opposto le superficie provenienti da gruppi di Humbert ammettono 

 rappresentazioni improprie per mezzo delle 0; cioè le equazioni (1) rela- 

 tive a queste superficie, hanno in comune infinite soluzioni fìsse e un numero 

 finito di soluzioni variabili colle x% ■ 



Una rappresentazione parametrica propria 'per una superficie iperel- 

 littica corrispondente ad un gruppo di Humbert, si ottiene mediante fun- 

 zioni intermediarie. 



Ciò posto, noi ci proponiamo di classificare le superficie iperellittiche 

 di rango r]>2, che ammettono una rappresentazione parametrica propria 

 mediante funzioni 0. Ci riferiremo per semplicità al caso d = 1. Abbiamo 

 dunque da considerare le superficie di Jacobi, che ammettono trasformazioni 

 singolari principali in sè stesse. Ed occorre distinguere due casi: quello di 

 una superficie di Jacobi corrispondente ad una curva di genere due irridu- 

 cibile, ed il caso particolare della superficie con due fasci di curve ellittiche 

 unisecantisi. 



Ci limiteremo in questa Nota al 1° caso, rimandando la trattazione 

 del 2° caso ad una ulteriore comunicazione. 



Le superficie di Jacobi che ammettono trasformazioni singolari principali 

 in sè stesse, risultano note dall'analisi di Bolza delle curve di genere due 

 con trasformazioni in sè( 1 ). Ma alcuni fra i gruppi di Bolza conducono a 

 superficie razionali o a rigate ellittiche, anziché a vere superficie iperellit- 

 tiche. 



Sia data una superficie di Jacobi F che ammetta un gruppo di trasfor- 

 mazioni d'Hermite G r d'ordine r, generante una involuzione I r , e (in corri- 

 spondenza all' ipotesi che I r sia di divisore 1) si supponga che G r non con- 

 tenga alcuna trasformazione ciclica di 2 a specie. 



Si può costruire una superficie <2> immagine di I r , col procedimento che 

 segue : 



Si consideri sopra F un sistema co 2 |C| (= )Ci() di curve di genere due 

 senza punti doppi (n. 2) ; le trasformazioni hermitiane di G r mutano questo 

 sistema in sè stesso, facendo corrispondere ad una curva generica C le curve 

 C, C",., C (r-1> del medesimo sistema. Ebbene le curve 



C -f C + C" + ... + e 0 -» 



sono contenute tutte in un sistema lineare di grado 2r 2 appartenente all' in- 

 voluzione L-. Quindi la superficie immagine di l r contiene un sistema lineare 

 di grado 2r, di genere r -J- 1 e di dimensione pure 



Si può supporre che il suddetto sistema lineare (che è semplice) venga 

 segato su <P dagli iperpiani di un S r+1 , e si ha allora una superficie <P 2r 

 d'ordine 2r, a sezioni iperpiane di genere r -f- 1 in S r+1 . 



(') Bolza, On binary sextics with linear transformations into tkemselves (American 

 Journal of Mathematics, t. X, 1888). 



