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Questa non è la superficie d'ordine minimo fra le immagini proiettive 

 dell'involuzione I r , ma si distingue per la circostanza di possedere un certo 

 numero di punti doppi e d' iperpiani tangenti che formano una configura- 

 zione massimamente simmetrica. 



Si ottengono punti doppi di in corrispondenza ai punti uniti delle 

 trasformazioni di G r su F, e iperpiani tangenti più volte lungo curve razio- 

 nali, in corrispondenza alle curve C di )Cì unite per le suddette trasforma- 

 zioni. 



Si ottengono inoltre gruppi di omografie che mutano in sè la Q> 2 r, in 

 corrispondenza alle trasformazioni di l a e di 2 a specie che mutano in sè il 

 gruppo dei punii uniti esistente sulla superficie F. 



In tal modo si perviene ai seguenti risultati : 



Le superficie iper ellittiche regolari eli rango r > 1 e divisore 1, le 

 quali ammettono ima rappresentazione propria mediante funzioni 0 non 

 riducibili a prodotti di & dipendenti da una sola variabile ('), sono su- 

 perficie coi generi 1, le quali possono ricondursi birazionalmente ai seguenti 

 tipi: 



1) r — 2: superficie <P 4 di Kummer; 



2) r = 3 : superficie <P 6 di ordine 6 in S 4 , dotata di 9 punti bi- 

 planari ordinari e 9 iperpiani tangenti ciascuno lungo una conica contata tre 

 volte. Le proprietà della configurazione costituita dai 9 punti e dalle 9 co- 

 niche, vengono espresse in modo completo da un simbolismo analogo a quello 

 adottato da Humbert pei 16 punti e pei 16 piani singolari della superficie 

 di Kummer. 



Precisamente: indicati i punti coi simboli (a a) e le coniche coi sim- 

 boli « a (a, a = 1, 2, 3) si ha che : 



Pel punto biplanare (a a) passano 

 le coniche a/3', a/, a'/?, a'y. 



Sulla conica a ci giacciono i punti 

 «) («/) («'/?) {a'y). 



Delle 4 coniche per un punto doppio due toccano un piano tangente e 

 due l'altro. Per due punti doppi possono passare due coniche o una sok, e 

 due coniche possono avere comuni due punti doppi o uno solo. 



La <P 6 ammette un gruppo di 18 omografie: 9 involutorie e 9 cicliche 

 di 3° ordine (compresa l'identità). Queste ultime formano un sottogruppo; ecc. 



La # 6 è intersezione completa di una quadrica e di una varietà cubica. 

 Anzi i 9 punti biplanari di <2> 6 son doppi per un fascio di varietà cubiche, 

 tra le quali ve n'ha una con un 10° punto doppio. La cfg. dei 9 punti bi- 

 planari e delle 9 coniche, viene così a riconnettersi ad una cfg. già studiata 

 da Segre e da Castelnuovo. Tutto ciò permette di scrivere le equazioni alge- 

 briche della superficie <Z> tì . 



(') Con ciò si vengono ad escludere le superficie provenienti dalla particolare su- 

 perficie di Jacobi con 2 fasci ellittici unisecantisi. Esamineremo in appresso tali superficie. 



