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a) Superficie <X> 4 8 d'ordine 48 dello spazio S 25 , con 7 punti doppi e 7 

 curve razionali. Dei punti doppi uno è un punto uniplanare singolare (che 

 ha un punto doppio infinitamente vicino in ciascuno degl' intorni di 1°, 2°, 3° 

 ordine), uno è un punto uniplanare ordinario, 4 son punti biplanari ordinari 

 e 1 è conico. Delle curve razionali 1 è dell'8° ordine, 2 del 12° e 4 del 16° 

 ordine. Lungo queste curve si hanno iperpiani con contatti di 5°, 3°, 2° ordine. 



b) Superficie <P 48 d'ordine 48 dello spazio S 25 con 7 punti doppi e 

 7 curve razionali; e cioè: un punto biplanare avente T l punto doppio infini- 

 nitamente vicino in ciascuno degli intorni di 1° e di 2° ordine, due punti 

 biplanari ognuno dei quali ha 1 sol punto doppio infinitamente vicino, 4 

 punti biplanari ordinari; quanto alle curve: 1 conica, 1 sestica, 4 curve di 

 16° ordine ed 1 di 24°; ecc. ecc. 



c) Superficie 0> 4S dello S 25 con 7 punti doppi e 7 curve razionali. Dei 

 punti doppi 1 è un punto biplanare singolare con due punti doppi succes- 

 sivi, due son punti biplanari singolari con un sol punto doppio succesivo e 

 gli altri 4 son punti biplanari ordinari. Delle 7 curve 1 è dell' 8° ordine, 

 2 del 12° e 4 del 16° ordine. 



Tutte queste superficie si possono rappresentare (per proiezione) su, 

 piani doppi \z 2 == f 6 {x con sestica di diramazione. 



7. La configurazione dei punti doppi e degli iperpiani tangenti ad 

 una (P 2) . vale a caratterizzare le superficie iper ellittiche regolari di rango r. 



Infatti data una £> 2r che possegga la suddetta cfg. di punti e curve 

 singolari, si riesce a costruire una superficie multipla di generi p a = — 1 , 

 p g = P 4 = 1 rappresentata sulla <P 2r contata r volte, la quale risulta (in 

 questo caso) una superficie di Jacobi. 



Si ottiene codesta costruzione per la superficie di Kummer 



f\CC\.XìXzXÌ) = 0 , 



considerando 4 piani tangenti lungo coniche, che costituiscano un tetraedro 

 di Rosenhain; se questi piani sono 



Xx = 0 , | 2 = 0 , x 3 = 0 , x A — 0 , 

 basta considerare la superficie dello spazio 84(^^2 x 3 X4,x s ) 



f === 0 , X\ X$ — |/ X\ X% X 3 X '4 . 



Per la superficie <P a di S 4 si procede analogamente considerando 3 iper- 

 piani x x = 0 , Xì = 0 , x 3 = 0 tangenti ad essa lungo coniche e compren- 

 denti nel loro insieme i 9 punti biplanari. Basta quindi costruire la super- 

 ficie rappresentata sulla (P 6 contata 3 volte per mezzo del radicale 



yx ecc. 



