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8. Si possono pure assegnare in modo esplicito le sostituzioni lineari 

 su u ,v rappresentanti le trasformazioni birazionali che generano sulla super- 

 ficie di Jacobi l'involuzione I r immagine di una superficie <t> 2r • 



Una volta conosciute tali sostituzioni lineari, si costruisce la rappre- 

 sentazione parametrica di ciascuna di queste superficie mediante fun- 

 zioni 0 . 



Cosi p. e. la involuzione I 3 corrispondente al tipo 2° (superficie <P 6 

 di S 4 ), è generata dalla sostituzione lineare ciclica del 3° ordine 



\ u = — -u — 3 g v 

 (2) 2 



ì ' = - 



3g'u — -v 



relativa alla superficie di Jacobi coi periodi 



1 0 i I 



i ;(«'— 4)- 



0 1 a « 



Una sezione iperpiana della superficie 0P 6 può rappresentarsi annullando 

 una funzione 0 (u v) di 3° ordine ; ma non già una funzione di 3° ordine 

 arbitraria, sibbene una che sia trasformata in sè, a meno di un esponen- 

 ziale, dalla sostituzione lineare (2). Scegliendo quindi cinque funzioni 0 di 

 3° ordine siffatte, tra di loro indipendenti, le coordinate omogenee di un 

 punto di <P 6 si possono assumere proporzionali a queste 0 , e in tal modo 

 si ottiene la rappresentazione parametrica di <P 6 . 



Le 9 coniche della superficie d> 6 hanno per equazioni 



^^_|, y _|\ = 0 (X , fi = 0 , 1 , 2) , 



ove 3-(u,v) è la funzione theta normale di 1° ordine a caratteristica nulla 

 (una delle 16 ■& di Rosenhain). 



Quanto ai punti doppi di (P 6 , essi si ottengono in corrispondenza alle 

 seguenti coppie di valori di u , v : 



Da ciò si deduce nuovamente il simbolismo già introdotto per espri- 

 mere le proprietà della cfg. di punti e coniche, esistente sulla superficie 

 <Z> 6 (n. 6). 



