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Matematica. — Corollari del teorema relativo al paragone 

 fra due triangoli geodetici di uguali lati. Nota del Corrispondente 



P. PlZZETTI. 



1. Date due superficie, o porzioni di superficie, SiS s , diremo per bre- 

 vità di espressione che la curvatura (k) assoluta della S! è generalmente 

 maggiore di quella (K) di S 2 , quando la k sia, in ogni punto della S t , 

 maggiore o almeno non minore del massimo valore che assume la K in 

 un punto qualsiasi della S 2 (escludiamo, naturalmente, il caso che le cur- 

 vature delle due superficie siano costanti ed eguali fra loro). 



Ho dimostrato in questi ^Rendiconti (seduta del 6 gennaio di quest'anno) 

 che, in tale ipotesi, considerati due triangoli geodetici di eguali lati Tj , T 2 , 

 sulle S! , S 2 rispettivamente, gli angoli di Ti risultano maggiori dei corri- 

 spondenti di T 2 . Deduco qui da questo teorema talune conseguenze relative 

 al paragone di triangoli aventi in comune non già le lunghezze dei tre lati, 

 ma bensì due lati e un angolo oppure un lato e due angoli, ed applico poi 

 i risultati alla questione dell'angolo di parallelismo sopra una superficie 

 qualunque a curvatura negativa. 



Poniamo dapprima che la superficie S t sia a curvatura costante, uguale 

 o maggiore della massima curvatura di S 2 . Se quella curvatura è positiva, 

 assumendola uguale all'unità, varranno pel triangolo geodetico sulla Si le 

 relazioni differenziali 



(1) da = cos C . db + cos B . de -j- sen b . sen C . dk 



(2) sen a . rfB = sen G .db — sen B . cos a . de — sen b . cos C . ' 



(3) sen B . sen a . de = dG -f- cos a . dB -j- cos b . dk . 



Pel caso di una superficie Si a curvatura costante negativa = — 1 , 

 varranno invece le: 



(1') da = cos C . db -f- cos B . de -f- sen ip b . sen C . dk 



(2') sen ip a . dB = sen G .db — sen B . cos ip a .de — sen ip b . cos C . dk 



(3') sen B . sen ip a . de = — dG — cos ip a . dB — cos ip b . dA . 



Nel caso di superficie a curvatura positiva, si intendono, in quel che 

 segue, limitati i lati a una lunghezza non maggiore di n:2,]/k x dove k x è 

 il massimo della curvatura assoluta; pel caso di superficie a curvatura ne- 

 gativa nessuna limitazione di lunghezza è necessaria. 



In ogni caso la somma di due angoli non potrà superare re. Questo è. 



