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Sia S una tal superficie ; indichiamo con ki k-z il massimo e il minimo 

 (algebrici) della curvatura assoluta di essa. Indichiamo' con S x , S 2 le pseudo- 

 sfere di curvatura k x , k 2 rispettivamente. Sulle tre superficie consideriamo 

 i triangoli geodetici 



Li Bx Ci , ABC , A 2 B 2 C 2 



rettangoli in ki , A , A 2 e tali che 



A^i = AB = A 2 B 2 = «r 

 angolo B! = angolo B = angolo B 2 . 



Pel risultato del n. 3 ^gli angoli Ci,CjC 2 sono qui certamente < 

 avremo 



(6) A 1 C 1 <AC<A 2 C 2 . 



Poniamo ora che sulle tre superficie gli angoli B,,B,B 2 , rimanendo 

 fra loro eguali, vadano crescendo. Per la (7) il lato AC non può mantenersi 

 di grandezza finita quando A! d cresca oltre ogni limite. Quindi AC diverrà 

 infinitamente grande per un valore dell'angolo B, che sarà minore o al più 

 uguale all'angolo di parallelismo, spettante al segmento a sulla Si e defi- 

 nito dalla relazione 



(7) cotg /?! = sen ip (a f/ — k y ) . 



Similmente, per la (6), il lato AC non potrà divenire infinitamente 

 grande, se anche A 2 C 2 non cresce oltre ogni limite; vale a dire la AC di- 

 verrà infinita soltanto per un valore dell'angolo B che sarà maggiore o 

 almeno uguale all'angolo /? 2 di parallelismo spettante al segmento e sulla S 2 

 e definito da 



(8) cotg § 2 = sen ip {a j/ — k 2 ) . 



Concludiamo dunque che, data sulla S una geodetica g e un punto P 

 a distanza geodetica a dalla g, l'angolo fi di parallelismo nel punto P ri- 

 spetto alla geodetica g, sarà limitato dalle disuguaglianze 



dove §i e /? 2 sono definiti dalle (7) (8). Le ki , k 2 indicano il massimo 

 e il minimo della curvatura assoluta in S. 



6. Verifichiamo le disuguaglianze ora trovate, in un caso semplice. 

 Sull'iperboloide rigato di rotazione, la cui equazione è 



-2 



x% + y* — prrr = a * 



consideriamo un punto M del parallelo di raggio r 0 , e chiamiamo <j> 0 l'an- 



