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Allora, se costruiamo una superfìcie iperellittica appartenente alla ta- 

 bella (2): 



(4) x = (p t (u , v) , y = <p t {u , v) , z= <p» ó (u , y), 

 possiamo scrivere: 



X = E,(^ , y , *) 



(5) y==B,(f,,y,#) 



Z = R 3 (^ , y , sf) 



essendo le R funzioni razionali; e la superficie' F è l'immagine di una invo- 

 luzione algebrica di grado n sopra la superficie iperellittica (4); precisa- 

 mente ad un punto di F corrispondono gli n punti di (4) cbe si hanno per 

 le n soluzioni incongrue delle (1). 



Questa involuzione può avere curve luoghi di punti uniti e curve fonda- 

 mentali (i cui punti cioè sono coniugati con un punto fisso). Noi ci poniamo 

 nell'ipotesi che l'involuzione non possegga curve fondamentali coniugate a 

 punti uniti. Si dimostra poi che, se la superficie F, immagine della invo- 

 luzione, non è birazionalmente identica ad una rigata (razionale od ellittica), 

 l' involuzione non possiede curve luoghi di punti uniti. Noi ci mettiamo addi- 

 rittura in questo caso. 



Siano (u , v) , (V , v) due punti coniugati dalla involuzione, (ss ,y , z), 

 (x , y , z') le loro coordinate : dimostriamo in primo luogo %' , y' , / sono 

 funzioni analitiche uniformi di u,v. E difatti, se (u,v) descrive un ciclo 

 chiuso nello spazio reale a 4 dimensioni dove si rappresentano i parametri 

 u e y, questo ciclo può ridursi infinitesimo con deformazione continua senza 

 traversare punti nei quali accada la coincidenza di (x , y' , z') con qualcun 

 altro dei coniugati di (u , y), e ciò perchè i punti uniti dell' involuzione ed 

 i loro coniugati sono isolati, in forza delle ipotesi fatte. 



Se allo stesso punto (x,y,z) facciamo invece percorrere un ciclo chiuso 

 sopra la superficie (4), u e v ritornano,- in generale, aumentati di periodi, 

 e può il punto (x\y\z') scambiarsi con un altro dei coniugati di (pc,y,z); 

 dunque x', y\ z' non sono, in generale, funzioni razionali di x ,y ,z. 



Per renderci conto di questi scambi, basta studiare ciò che avviene 

 per i cicli chiusi di (4) che corrispondono alle 4 coppie di periodi (2). Per 

 uno di questi cicli, i punti del gruppo individuato da (x , y ,z) subiranno 

 una permutazione; ma, giacché il numero di queste permutazioni è finito, 

 ripetendo il ciclo un conveniente numero di volte, ogni punto del gruppo 

 riprende il suo primitivo posto. 



Si vede dunque che è possibile determinare un numero intero J tale 

 che i cicli corrispondenti ai periodi 



z/w, iffl, zfw-, z/<0 4 



(2)' ' ; * 



J(o[ <4co' z Jw-ì 



