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ed alle loro combinazioni lascino fermo ogni punto del gruppo, ed in parti- 

 colare (x' , %J , /). 



Si consideri ora la superficie iperellittica : 



fi\i v (u v\ / u v\ y ( u v\ 



(4) * = v\j>j) ■ 1 = 9,{j,j) , Z = 9»{j>j) 



la quale non è altro che la stessa (4) ; però, scritta così essa appartiene 

 alla tabella (2)'. Infatti le funzioni (p riprendono, per ipotesi, i loro valori 



tù V 



solo quando gli argomenti — , - aumentano di periodi (2), cioè quando u,v 



aumentano di periodi (2)'. 



Giacché le funzioni x , y , j. di u , v ammettono i periodi (2)' esse si 

 esprimono razionalmente con £ rj , £. Anche x' ,y' , z' si esprimono razio- 

 nalmente con $,r), f . Infatti </, / sono, da una parte, funzioni algebriche 

 di £ , ?; , f e d'altra parte, quando il punto (£ , rj , £) descrive sopra (4)' un 

 ciclo chiuso, il punto corrispondente {x , y , i) descrive sopra (4) un ciclo chiuso 

 che è una combinazione dei cicli corrispondenti a (2)', e perciò x' , y' , s' 

 riprendono i valori iniziali. 



La trasformazione semplicemente razionale che fa passare dal punto 

 (x' , y , z) al punto (f , rj , f) porta u , v', che sono due integrali semplici 

 di prima specie di (4) calcolati nel primo punto, in due integrali semplici 



te v 



di (4)' calcolati nel secondo punto, cioè nel punto — , — ; ma ogni così fatto 



ti v 



integrale di (4)' è una combinazione lineare di — , — , e perciò si ha: 



. u' = au + 0v + C 



v' — yu -j- àv -f- c' 



con a , fi ,y , S , c , e' costanti tali che ad — j3y non sia nullo. 



Questa è la forma delle soluzioni del sistema (1) espresse mediante 

 una di esse. 



2. Tutte le sostituzioni lineari (6) formano un gruppo r, perchè esse 

 trasformano in sè uno stesso gruppo di punti coniugati ; di questo gruppo r 

 consideriamo il sottogruppo G , invariante in r, costituito da tutte le ope- 

 razioni (6) che siano del tipo : 



u — n -f- c , v = w -f" c' ; 



in G è, a sua volta, contenuto il gruppo fondamentale di (4), cioè il gruppo 

 formato da tutte le operazioni: 



u' = u-f:S2 , v' = v + Q', 

 essendo Sì ed Sì' una coppia di periodi. 



