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L' indice di quest' ultimo gruppo rispetto al gruppo principale r è evi- 

 dentemente il grado n della involuzione; se denotiamo con i l'indice dello 



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stesso gruppo rispetto a G, sarà -7 l'indice di G rispetto a F. 

 Si costruisca ora una superficie iperellittica: 



il cui gruppo fondamentale sia G; ciò è possibile perchè le funzioni mero- 

 morfe di u <v che restino inalterate per le operazioni di G esistono : un 

 esempio è fornito dalle (1) stesse, le quali non si alterano per tutte le ope- 

 razioni di r ed in particolare per quelle di G. 



Giacché il gruppo r contiene G, le X,Y,Z sono funzioni razionali di 

 f ; rj , j, e, siccome G contiene il gruppo fondamentale di (4), le £ , rj , £" si 

 esprimono razionalmente con % , y ,2. Dunque, la nuova superficie iperellit- 

 tica (£ , rj , £ ) è l' immagine di una involuzione, evidentemente di grado i , 

 sopra la (4), e la nostra superficie F è l'immagine di una involuzione di 



grado - sopra la superficie (f , ij , £). 



L'indice ì vale 1 solo quando G coincide col gruppo fondamentale di 

 (4) ; in ogni altro caso, possiamo abbassare il grado della involuzione pas- 

 sando ad un'altra superficie iperellittica. 



Abbiamo dunque il diritto di supporre che G sia il gruppo fondamen- 

 tale di (4); allora noi diremo brevemente che il gruppo r è normale ri- 

 spetto alla tabella (2). 



Sotto questa ipotesi, ogni operazione di r rappresenta una trasforma- 

 zione birazionale della superficie iperellittica (4) in sè. Infatti, quando 

 nelle (6) aumentiamo u e v di periodi, u' e v aumentano pure di periodi 

 e reciprocamente, perchè, in caso contrario, T conterrebbe operazioni del tipo: 



u' = u -j- e , v' = v -f- d 



senza che (e , e) fosse una coppia di periodi. Dunque : 



La superficie F è immagine di una involuzione sopra una superficie 

 iperellittica, generata da un gruppo finito di trasformazioni birazionali 

 della superficie iperellittica in sè. 



Ad ogni operazione del sottogruppo invariante G di r corrisponde l'iden- 

 tità; conviene dunque considerare r rispetto al modulo G. 



3. Il genere (geometrico) p e la irregolarità j della superficie F si pos- 

 sono in modo facile determinare con la semplice ispezione delle operazioni 

 di r. 



I numeri interi p ed j si lasciano ordinatamente definire come il nu- 

 mero degli integrali doppi di l a specie ed il numero degli integrali sem- 

 plici di l a specie linearmente indipendenti che la superficie che si considera 

 possiede. 



