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Anzitutto osserviamo che ogni integrale doppio o semplice di l a specie 

 della superficie F, viene, dalla trasformazione razionale (5), portato in un 

 integrale di egual nome della superficie iperellittica (4), e, siccome una 

 superficie iperellittica possiede, come è noto, un solo integrale doppio di 

 l a specie e due soli integrali semplici di l a specie linearmente indipendenti, 

 per la superficie F può essere: 



p = 0 , 1 ed ; = 0 , 1 , 2 . 

 Supponiamo p = 1. L'integrale doppio di l a specie di F: 



J|r(X,Y,Z) dXdY, 



quando si esprime con u , v servendosi delle (1), deve ridursi all'unico in- 

 tegrale omonimo di (4) che è, a meno di un fattore costante: 



Il du dv . 

 <_/./ 



Dunque, facendo il detto cambiamento di variabili, si ha: 



R(X, Y,Z) dX dY = du dv. 



Se ora scriviamo u , v' al posto di u , v, il primo membro di questa 

 eguaglianza non si altera ; segue che : 



du' dv' = du dv 



e perciò il determinante Jacobiano: 



D(u',v') 



= ad — (3y 



B(u , v) 

 vale 1. 



E sussiste anche la proposizione reciproca, cioè che, se tutte le sosti- 

 tuzioni di r sono unimodulari, la superficie F è di genere 1. Dunque: 



La superficie F é di genere zero o di genere uno secondo che esiste 

 o non esiste una sostituzione di r che non sia unimodulare. 



Per ciò che riguarda la irregolarità j di F, si hanno i seguenti risultati : 



1) Le superficie F che hanno la irregolarità eguale a 2 sono sol- 

 tanto le superficie iper ellittiche. 



2) Per le superficie F che hanno l'irregolarità eguale ad 1, il 

 corrispondente gruppo normale T è ciclico, e la sui sostituzione genera- 

 trice ha uno dei moltiplicatori eguale ad 1 e l 'altro diverso da 1. 



Fuori dei casi 1) e 2) la superficie F è regolare. Si osservi che le 

 superfìcie F di irregolarità 1 sono sempre di genere zero. 



4. Si consideri una operazione di T fuori di G ; una siffatta operazione 

 esiste, a meno che, essendo T supposto normale, la superficie F non sia 

 birazionalmente identica alla superficie iperellitica (4). 



