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Questa operazione, con un cangiamento lineare dei parametri, se occorre, 

 supponiamola ridotta al tipo: 



(6)' u = hi -j- c , v = \xv -f- e'; 



i numeri A , sono ciò che si chiamano i moltiplicatori della sostituzione 

 che si considera; nel nostro caso essi sono radici dell'unità, perchè il 

 grappo r è di grado finito (mod. G). 



Intanto, come già si è detto, quando u e v aumentano di periodi, vi 

 e v' debbono aumentare di periodi ; si ha dunque per i valori 1,2,3,4 

 dell' indice v : 



X(l)v = «vi «1 + «V2 W 2 -f- «. )3 ft) 3 -|- «v 4 (Di 

 [ICO» = «vi (0[ -J- «v 2 <»2 + «V3 «3 -f~ «V4 «4 ) 



(7) 



essendo le « numeri interi. 



Segue che X , ,« sono radici dell'equazione di 4° grado: 



«u — e 



«12 



«13 



«14 



«21 



«22 Q 



«23 



«24 



«31 



«32 



«33 Q 



«34 



«41 



«42 



«43 



«44 



Allora, se m è il grado (mod. G) del gruppo ciclico generato da (6)' 

 e <f(m) è la solita funzione enumeratrice di Gauss, deve essere: 



(f{m) - "- 4 , 



e perciò dobbiamo considerare soltanto i seguenti valori di m : 

 m = 2, 3, 4, 5,6,8,10,12. 



Ecco una nostra proposizione fondamentale la cui dimostrazione è troppo 

 lunga per essere riportata qui: 



Se A , fi non sono numeri quadratici, il gruppo r porta sempre a 

 superficie F razionali. 



Ammesso ciò, dobbiamo ritenere: 



m 



2,3,4,6, 



e 2,f( possono quindi essere scelti esclusivamente fra: 

 1 , — 1 , i , — i , e , — s , s 2 , — £ 2 , 



essendo e una radice cubica immaginaria dell' unità. 



Tutti questi casi di moltiplicazione complessa delle funzioni iperellit- 

 tiche, se si eccettua il caso 



u' = — u-\-c , v' = — 1> + <?', 



