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Una osservazione semplicissima permette in molti casi di verificare la 

 cosa, senza fare alcun calcolo : se il gruppo r corrispondente alla superficie F 

 si può estendere, tenendo ferma la tabella dei periodi, in un gruppo di 

 grado doppio, che porti a superficie razionali, la F si rappresenta sul 

 piano doppio, perchè essa viene a possedere un'involuzione di 2° ordine 

 razionale. 



8. Noi dobbiamo fra breve dare un rendiconto molto più esteso del 

 nostro lavoro; ma vogliamo fin da ora mettere in rilievo un fatto che mo- 

 stra l'indole del problema che trattiamo; questo è che le trasformazioni 

 del gruppo T sono generalmente, sopra la corrispondente superficie iperel- 

 littica, trasformazioni singolari nel senso di Humbert ( 1 ). 



In altri termini, le funzioni Theta iperellittiche che servono ad espri- 

 mere le funzioni meromorfe quadruplamente periodiche x,y,z, che sono 

 le coordinate del punto generico della superficie, non vengono dalle opera- 

 zioni di r trasformate in Theta, ma in funzioni che verificano equazioni 

 funzionali più generali di quelle cui soddisfano le Theta (funzioni interme- 

 diarie secondo Poincaré ed Humbert) ; queste funzioni più generali analoghe 

 alle Theta esistono in forza delle speciali relazioni che intercedono tra i 

 perìodi. 



Noi chiariremo meglio il nostro pensiero con un esempio. 



Consideriamo il caso di gruppi r ciclici di quart'ordine, che è quello 

 segnato XI nella nostra classificazione. 



Supponiamo in primo luogo che la relazione bilineare fra Ter' che 

 accompagna la tabella XI sia: 



%' = 1 — T 



e cambiamo i parametri u,v ponendo: 



U = l (u 4- W) , V = -Jt (h — v). 



Allora, la tabella corrispondente ad XI per gì' integrali U , V si riduce su- 

 bito a 



1,0, f, g 

 0,1,0,-2 



e la sostituzione di quart'ordine che genera il gruppo r si scrive: 



(8) u r =— v , r = u. 



(') Humbert, Sur les fonctiom abeliennes singulières (Journal de Mathematiques, 

 1899, 1890). 



Cioè 



1,0, 



0,1,0, 



] 



r •/ 1 



g=l t— - 



