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Il sistema eli funzioni ineromorfe quadruplamente periodiche relativo 

 alla tabella ora scritta esiste sotto la sola condizione che g sia immagina- 

 rio ; ma qualsivoglia superficie iperellittica di questo sistema rappresenta la 

 totalità delle coppie di punti della curva di genere 2 : 



rf = £ 5 + + £ 



e la trasformazione (8) equivale a fare su questa curva la trasformazione 

 lineare 



rf = irj , £' = — £ 



che la cambia in sè. Ci troviamo dunque in uno dei casi, studiati da Bolza ('), 

 di curve di genere 2 che ammettono trasformazioni birazionali in sè, fuori, 

 s' intende, di quella prodotta dalle coppie di punti della serie canonica. Le 

 involuzioni sopra le superfìcie iperellittiche, che vengono in corrispondenza 

 a queste trasformazioni birazionali, sono i casi più semplici che si possano 

 immaginare; le corrispondenti trasformazioni del gruppo r sono allora tras- 

 formazioni (ordinarie) d' Hermite le quali cambiano le Theta in Theta. 



La trasformazione (8) può anche pensarsi come un'operazione di secondo 

 ordine, purché si ritenga il suo quadrato: 



U' = — U , V' = — V 



eguale all'identità; ciò equivale a metterci sopra la superficie di Kummer 

 relativa alla tabella di periodi che qui si considera, che è una superficie 

 di Kummer due volte tetraedroidale. Questa operazione di secondo ordine 

 è una omografia rigata involutoria che trasforma in sè la detta superficie 

 di Kummer. 



Supponiamo in secondo luogo che la relazione bilineare tra r e r che 

 accompagna la tabella XI sia: 



(9) *' = 2. 



T 



Cambiamo i periodi fondamentali di u e v ponendo : 



&>! = 2 -f- 2i — ir , (o. 2 = — 1 — 2i-\~ ir , co s = Si — ir , w 4 = r 



(o[ — 2 — 2i -j- ir' , w.j — — 1 -]- 2i — ir' , ro, == — 3/ -f- ir' , co^ = r ; 



il determinante di questa trasformazione lineare è: 



LO 



2 



0 



1 



— 1 



2 



0 



— 1 



0 



co 



0 



1 



0 



0 



1 



0 



e vale — 1. 



0) American Journal of Mathematics, t. X. 



