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di numeri primi, onde noi ci limiteremo alla considerazione delle congruenze 

 della forma 



x n = a (mod. p m ) . 



È pur noto che il grado n può supporsi divisore di <p{p m ) =p m - 1 (p — 1), 

 ma in questa prima nota noi supporremo che n sia una potenza del mede- 

 simo numero primo p , rimandando ad una nota successiva la trattazione del 

 caso generale. 



Consideriamo dunque la congruenza 



( 1 ) = a (mod. p m ) , 



essendo p un numero primo dispari. Noi qui otterremo la risoluzione apiri- 

 stica di questa congruenza collo stesso metodo che applicammo al caso di 



p = 2 (') : esso è fondato sullo sviluppo in serie di f/l — z . 



1. In virtù del teorema di P erm a t- Eulero. noi possiamo supporre, 

 senza ledere la generalità, che nella congruenza (1) sia r<Cm, nel qual 

 caso, se la congruenza è possibile, cioè quando è soddisfatta la condizione 



(2) aP^-Hp-iì — i ( mod# p^r 



la (1) ammette p r soluzioni. 



Dalla condizione (2) intanto si trae 



a?- 1 = 1 (mod. p r+1 ) 



e quindi 



a pr = a (mod. p r+l ) . 



Pertanto si può porre 



a = tìP r '— hp r+1 , 

 essendo h un numero intero, e quindi 



a = aP'' (1 — h-f +l ) (mod. p m ) 



dov'è 



s/P" fi 



(3) A = ha-P"= a~P r (mod. p m ) ( 2 ). 



Allora la (1) diviene 



(4) xP r = aP"( l — V +1 ) (mod. p m ), 



(') Estensione di un metodo di Legendre alla risoluzione della congruenza X 2 ™ = a 

 (mod. 2 & ), Rend. della E. Accademia delle scienze f. e m. di Napoli, 1905. 



( 2 ) Con a— 1 ovvero con — si suole anche indicare una soluzione della congruenza 



v ; a 



ax = l (mod. p m ), supposto a ={= 0 (mod. p). 



