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e però, se x a è una soluzione della congruenza 



(5) x p " = l — Ap M (rnod. p m ), 



sarà az 0 una soluzione della (1). Moltiplicando questa per ciascuno dei nu- 

 meri 1 -f- kp m ~ r (k = 0 , 1 , 2 , . . . ,p r — 1), che sono tutte le soluzioni della 

 congruenza ap r == 1 (rnod. p m ), si ottengono tutte le soluzioni della (1). Occu- 

 piamoci quindi della risoluzione della congruenza (5). 



r 



2. Lo sviluppo di j/l — s in serie di potenze di z : 



(6) 1— c.z — c 2 z 2 c n z n , 



dov'è 



1 



P 



e per n >■ 1 



(;/ — 1) (2p r — 1) . . . (n — \f— 1) 



n ! p r 



(7) C n — 



è convergente entro il cerchio di raggio 1, e però lo sviluppo della sua po- 

 tenza ^/-esima dovrà essere, entro questo cerchio, identico al — z . Posto 

 c 0 = — 1 , il coefficiente di z n nello sviluppo della suddetta potenza è 



essendo la somma estesa a tutte le soluzioni in numeri interi non negativi 

 dell'equazione 



ii + i% + • • • + V • 



Per »>1 è dunque 

 (8) 2>, c, 2 ...c ip ,. = 0. 



Di qua si ricava la seguente espressione del coefficiente c n per mezzo 

 dei coefficienti i cui indici sono inferiori a n : 



(9) c n = \ 



p' 



(^)l^ — (^)S^-h- •-!'*] i (n>l), 

 dove con la notazione isobarica del Cesàro 



si indica la somma dei prodotti c kl c k , ■ • ■ Cm , essendo h x s k 2 , . . . , h nu- 

 meri interi positivi (diversi da zero), uguali o disuguali, aventi per somma n . 



