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Dalla (9), per induzione completa, si ricava subito la seguente proprietà 

 notevole: i coefficienti c n > ridotti ai minimi termini, hanno per denomi- 

 natore una potenza di p . L'esponente di questa potenza è, come risulta 

 subito dalla (7), 



rn -j- mp (p , n ! ), 



dove con la notazione mp (a , b), essendo a e b due numeri interi, si indica 

 l'esponente della più alta potenza di a che divide b ('). 



3. Ciò posto, possiamo dimostrare che una soluzione della con- 

 gruenza (5) è 



(10) a? 0 = 1 — ei kp r+l — c 8 Ì 2 1>«"-») c h A_ k p Mr + v (mod. p m ) 



dov'è 



Dobbiamo innanzi tutto dimostrare che i termini di (10) sono interi, 

 e ciò equivale a dimostrare che è 



rn -f- mp , n ! ) -51 (r -\- 1) n . 



Infatti si ha 



mp(^,!) = [^ + [| 2 ] + ... + [^]^^, 



e però 



rn -f- mp (p , n ! ) ^ -J- < (r -f- 1 ) n . 



Innalziamo ora ambo i membri della (10) alla potenza //"-esima e svi- 

 luppiamo la potenza del secondo membro, ponendo al solito c a = — 1 . Si 

 ottiene 



(11) %f. = — y ^npnlr+l) y_C h C h ...C ir - 



«=o (I)» 



P m 



— V A" p nir+l) Y c is ...dr (mod. p m ) . 



Al secondo membro la somma segnata con (I)„ si estende a tutte le 

 soluzioni in numeri interi non negativi dell'equazione 



(12) h -\ hV = «i 



e quindi in virtù di (8) per »£> 1 'è nulla, onde la prima somma si riduce 



( l ) Peano, Formulane mathématique, 1902, première paride, pag. 73. 



