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al — kp r+l . La somma segnata con (II) H devesi estendere a tutte le solu- 

 zioni in numeri interi non negativi e non superiori ad n, dell'equazione 



(12) , e noi ora dimostreremo che in tale ipotesi tutti i termini della se- 

 conda somma sono divisibili per p m . 



Infatti, indicando con a l'esponente della più alta potenza di , che 

 divide 



(13) p nlr + v J_ c k a, ... c ipr 



(li). 



si ha 



a = n{r + !) — )>_ [i s r + mp(p , !)] = n— 2_ ™VÌP > i» ! ) > 



e poiché 



C 



mp(^,w!)^>_mp(^,?'!) , 



si ottiene 



P- n 

 a = n — ^_ mp(;j , i s !) n — m^(p ,nl)^n — 



Essendo poi 



m — 1 m(p — 1) -j-p — 8 



~p~^2 = p — 2 

 sarà 



«^& + 1^to + 2-|- I _ ~ J ^ m + 1 



_ n — 1 (p — 2) »-f- 1 1 r -, . , 



a^n = — ^ [m(p — l)+p — 2] > 



— 1 p — 1 p — 1 



Poiché l'esponente della più alta potenza ài p , che divide (13), è su- 

 periore ad m, tutti i termini della seconda somma di (11) sono divisibili 

 per p m , e così resta dimostrato che la (10) è una soluzione apiristica della 

 congruenza (5). La (1) ammette quindi la soluzione apiristica 



h 



(14) xi = — a V c n {l — a l ~P r ) n (mod p m ) . 



il=0 



4. Il numero k dato dalla forinola 



*.— +i+[=Ef] 



è un limite oltre al quale non occorre più spingere il calcolo dei termini, 

 perchè i termini successivi sono tutti divisibili per p m . Ma alcuni ter- 

 mini, fra i k che si devono considerare, possono essere divisibili per p m ; 

 basterà, p. es., che il coefficiente c„ abbia a denominatore una potenza di p 



