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La Nota finisce con un breve cenno dell'estensione del precedente teorema 

 a coordinati polari, o altre coordinate. 



2. Introdurremo due definizioni : Diremo che un aggregato di punti nel 

 piano (x , y) è linearmente misurabile, se ogni sua intersezione con una retta 

 ,r = cost, oppure y = cost è un aggregato linearmente misurabile. Diremo 

 che una funzione f(x , y) è linearmente misurabile, se le funzioni della sola x 

 (o della sola y), che se ne deducono, ponendovi y = cost oppure x = cost 

 sono (linearmente) misurabili. Per le funzioni limitate misurabili linearmente 

 e superficialmente il teorema precedente è conseguenza immediata dei teo- 

 remi ( l ) del Lebesgue. 



Notiamo che gli aggregati, che il Lebesgue chiama misurabili (B), sono 

 linearmente misurabili, che l'aggregato somma di (comune a) un numero 

 finito, oppure di (oppure a) un' infinità numerabile di aggregati linearmente 

 misurabili è pure linearmente misurabile. 



Per dimostrare il nostro teorema nel caso di funzioni non misurabili 

 linearmente, premetteremo due osservazioni: 



Osserv. l a . Quando si parli di integrali di una funzione, si può anche 

 supporre che essa non sia definita in ogni punto, e che esista un aggregalo 

 di punti di misura nulla in cui essa non è definita. Ciò proviene dal fatto 

 che i valori di una funzione in un aggregato di punti di misura nulla non 

 hanno alcuna influenza sul valore di un suo integrale. 



Osserv. 2 a . Un aggregato E misurabile (superficialmente) del piano 

 (x , y) è contenuto in un aggregato E, , e contiene un aggregato E 2 , che sono 

 misurabili (B) , e quindi sono misurabili superficialmente e linearmente, ed 

 hanno la stessa misura superficiale di E. 



Da queste osservazioni si deduce: 



Se f(x , y) è una funzione misurabile superficialmente, esiste una fun- 

 zione <p(x , y) misurabile superficialmente e linearmente, tale che l'aggre- 



gate y = cost, è l'aggregato dei punti comuni al campo T, o all'aggregato E con la 

 retta # = cost, (oppure y = cost) considerata. Al solito le % ,y indicano coordinate car- 

 tesiane ortogonali. 



(') Lebesgue, loc. cit., pag. 274 e seg. A pag. 276 riga 30 il Lebesgue dice che 

 l'aggregato A dei punti comuni a un numero finito, o ad un'infinità numerabile di ret- 

 tangoli, aventi i lati paralleli agli assi coordinati, si può considerare come l'aggregato 

 dei punti comuni a un numero finito, o a un'infinità numerabile di rettangoli n' empiétant 

 pas les uns sur les autres. Ciò si dimostra nel seguente modo : Se Ei , E 2 , E 3 . . . sono i 

 rettangoli in discorso, si sopprimano da ogni rettangolo E w quelle sue parti, che sono 

 comuni ad almeno uno dei rettangoli Ei , E 2 , . . . , E„_i , e si suddivida la parte residua 



in tanti rettangoletti e* r) , . . . L'insieme A dei punti appartenenti ad almeno uno 



dei punti rettangolari E coincide con l'insieme dei punti appartenenti ad almeno uno dei 

 rettangoli e: i quali sono pure in numero finito, o formano un'infinità numerabile, e non 

 si sovrappongono l'un l'altro. . 



