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gaio dei punti., iti cui /=j=9>, è contenuto in un aggregato E, il quale 

 gode delle seguenti proprietà : 



1°) E è di misura superficiale nulla. 



2°) Le rette ,r = cost oppure ?/ = cost, die intersecano E in un 

 aggregato di misura {lineare) non india, formano un aggregato di misura 

 (lineare) nulla. 



3°) E è linearmente misurabile. 



Dim. I numeri razionali formano un aggregato numerabile, e noi li 

 potremo individuare con a L , «%, a 3 . . . L'aggregato e t dei punti, ove />. 

 è misurabile (perchè f è una funzione misurabile). Per la seconda osserv. 

 esiste in e t un aggregato e] linearmente misurabile, avente la stessa misura 

 superficiale di e t . Costruiamo la funzione g>(x , y) , che coincide con f(x , y) 

 in ogni punto, che appartiene ad almeno uno degli aggregati e', e che nei 

 punti residui assume un qualsiasi valore X = cost . Sia E l' insieme di questi 

 punti residui : ogni punto di E appartiene ad almeno uno degli aggregati 

 e { — <?', i quali sono tutti di misura nulla. Dunque E ha misura nulla. L'ag- 

 gregato E è l'aggregato dei punti comuni a tutti gli aggregati F — e', : poi- 

 ché r ed e, sono linearmente misurabili, anche E è linearmente misurabile; 

 e quindi (Lebesgue loc. cit.) la sua misura superficiale si ottiene integrando, 

 rapporto a x, la misura lineare della sua intersezione con una retta x = cost. 

 E, poiché detta misura superficiale è nulla, le rette x = cost, che intersecano 

 E in un aggregato di misura lineare non nulla, formano un aggregato di 

 misura lineare nulla. Altrettanto avviene delle rette y = cost. 



Per dimostrare il nostro teorema, basterà dunque dimostrare che (p(x , y) 

 è linearmente misurabile, ossia che, presa una qualsiasi quantità /?, il gruppo 

 G dei punti, in cui è linearmente misurabile. 



Ora, se a i{ ,a Ì3 , . . . sono i numeri razionali maggiori di /?, e se /?.> A, 

 l'aggregato G è l'aggregato somma degli aggregati e' h , <?' 2 , e' i3 . . . , che sono 

 tutti linearmente misurabili. Quindi anche G è linearmente misurabile. 



Se invece /? <^ A, l'aggregato G è l'aggregato somma dell'aggregato E, e 

 degli aggregati e', , e' i} , e' h . . . Quindi ancora G è linearmente misurabile, c.d.d. 



Si intende che con le parole « aggregato somma di più aggregati » ab- 

 biamo qui alluso all'aggregato formato da tutti i punti appartenenti ad al- 

 meno uno degli aggregati, di cui si fa la somma. 



3. Se la funzione f è limitata, altrettanto avviene della <p : poiché i 

 punti, in cui f=^y>, formano un aggregato di misura nulla, si ha: 



Poiché (p è misurabile anche linearmente, si ha, per i ricordati teoremi 

 del Lebesgue: 



