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Ora le rette y = cost (x = cost), che intersecano l'aggregato in cui 

 /"={= y in un aggregato di misura lineare non nulla, formano un aggregato 

 di misura nulla. 



Su tutte le altre rette si ha quindi 



(f dx = j*fdx ^ J(f dy = ^fdy 



Quindi l' integrale ffdx (ffdy) esiste su ogni retta y — cost (x = cost) 

 ed è uguale all' integrale corrispondente della funzione <p , escluso al più un 

 aggregato di rette di misura nulla. Si ha, dunque, per l'osserv. prima: 



J'dx j'fdy ■ J*dx J*y> dy; j dy j fdx = J~<% ^<p dx . 



Kiunendo i risultati finora ottenuti, si conclude: 



J* r fd<f — Jdy J'fdx = ^dxjjfdy c.d.d. 



4. Noi abbiamo così dimostrato il precedente teorema per le funzioni 

 f(x ,y) limitate: ora lo estenderemo alle funzioni f(x,y) illimitate. Pre- 

 metteremo un'osservazione. Se y> x , y> 2 , • • • sono funzioni 'positive o nulle 



di una variabile x in un certo intervallo l , e se esiste il lina V J tp n dx , 



la serie 2 5P» converge nell'intervallo l, escluso al piti un aggregato di 



n 



punti di misura nulla ( 1 ). 



Infatti, se L = lim j y> n dx , si ha, per ogni valore di n : 



71=00 1 J 



]T j*(p n dx <. L . 



Se k è una qualsiasi costante positiva, il gruppo G k , „ dei punti, in cui 



L 



> cp t >> k , ha una misura minore od uguale a — . Il gruppo G; e , n +i contiene 



i k 



il gruppo Gft , „ ; il gruppo G ft dei punti appartenenti a uno almeno degli aggre- 

 gati G ft , n (n = 1 , 2 , . . . ), ossia il gruppo limite di G/ f , n per n = oo è mi- 

 surabile, ed ha una misura non maggiore di — . Ma il gruppo G dei punti, 

 in cui è una serie divergente, è il gruppo dei punti, comuni agli ag- 



i 



gregati G ftl , G, l2 , G fta , . . . , quando con k x , k 2 , h • • • si indichino delle 

 costanti tali che lim k { == co . 



1=00 



Quindi G ha una misura nulla. c.d.d. 



(') Cfr. Vitali, Rend. del Circ. Matem. di Palermo, tomo 23, (1907). 



Rendiconti. 1907, Voi. XVI, 1° Sem. 78 



