- 612 — 



Il precedente teorema, che noi abbiamo dimostrato per le serie a ter- 

 mini positivi, vale evidentemente anche per le successioni di funzioni non 

 decrescenti. 



In virtù di nn teorema del prof. Levi sull' integrazione delle serie (') 

 e della precedente osservazione, si può concludere. Se (p^ , y> 2 , . . . sono 

 funzioni non negative in un intervallo l , e se esiste ed è finito il 



limV \(f n dx y 



7l=oo 1 l 



si ha 



lim j>_ j (p n dx = j ( lim Y y) n \ dx . 



E un teorema analogo vale per le successioni di funzioni non decrescenti, 

 o non crescenti. 



Sia ora f(x , y) una funzione illimitata integrabile nel campo r. Essa 

 si può considerare come somma di due funzioni (/>[ , (p 2 , ambedue integrabili, 

 di cui l'ima non è mai positiva, l'altra non è mai negativa. Per dimostrare 

 la forinola del n° 1, basterà dimostrarla per ciascuna delle due funzioni 

 (fi , <p 2 , che hanno un segno costante. Potremo dunque senz'altro supporre 

 f > 0 . Allora siano Ki , K 2 , K 3 . . . costanti positive tali che K,,., < K» 

 e che lim K„ = co . Sia ip n la funzione positiva o nulla, che è uguale a / nei 



71= CO 



punti ove f < K„, . e che è nulla negli altri punti. La ip n è funzione limi- 

 tata ; e quindi (n° 3) xp n da = J'dx Jip n dy . Ora. per definizione di in- 

 tegrale, si ha f r fd<f = limj^i/> n da . Esiste quindi, posto v n =^ip n dy, 



il lim J v n dx ed è uguale a fda . Ora la successione delle v n è una 

 successione non decrescente; per le osservazioni precedenti si ha quindi 



j~ fd<s = Ialini v,^j dx — J ^lim JV» dyjdx . 



Ma, per la definizione stessa di integrale, si ha: 



lim xp n dy = fdy . 



Quindi anche nel caso di funzioni illimitate, vale la formola enunciata 

 al n° 1. c.d.d. 



5. In questo ultimo numero accennerò alle varie generalizzazioni della 

 formola precedente, quando si vogliano usare coordinate polari, o altri 



(') Kend. dell'Istituto Lombardo, 1906. 



