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sistemi di coordinate. Osserviamo che per giungere al concetto di misura 

 di un aggregato E , il Lebesgue parte dal concetto di misura esteriore di 

 E. Egli definisce quest'ultima nel seguente modo : Consideriamo un sistema 

 2 di triangoli, tali che ogni punto di E sia interno ad almeno un triangolo 

 di 2; e sia e la somma delle loro aree. Il limite inferiore delle quantità 

 e è la misura esteriore di E. Come si vede, il punto di partenza per 

 Lebesgue è il sistema S dei triangoli del piano (x , y) : dal concetto di area 

 di un triangolo egli giunge ai concetti di misura esteriore, o di misura di 

 un aggregato. Ma noi potremo evidentemente, senza alterare il valore della 

 misura di un aggregato qualsiasi, sostituire al sistema S dei triangoli piani 

 un sistema S' di aree piane <$ , il quale godesse delle seguenti due proprietà: 

 l a ) Ogni area ó di S' è misurabile. 



2 a ) Se i è un triangolo scelto ad arbitrio, si può, dato un numero 

 qualsiasi e , trovare un numero finito o un infinità numerabile di aree ó di S\ 

 tali che ogni punto interno a J sia interno ad almeno una delle aree ó 

 considerate, e che la somma di queste aree differisca dall'area di J di una 

 quantità minore di s. 



Così p. es., se 0 è un punto qualsiasi del piano, noi potremmo sce- 

 gliere come sistema S' di aree d il sistema dei quadrangoli limitati da due 

 raggi uscenti da 0, e da due cerchi aventi il centro nel punto 0. 



Definita in questo modo la misura di un aggregato, si può con metodi 

 analoghi ai precedenti estendere la forinola del n° 1 (che vale, quando si 

 vogliano usare coordinate cartesiane ortogonali) al caso, che si applichino 

 coordinate polari. 



E, con considerazioni perfettamente analoghe, si possono estendere i ri- 

 sultati precedenti a sistemi più generali di coordinate curvilinee. 



Osserv. Se r non è linearmente misurabile, si noti che esso sarà ( 1 ) 

 contenuto in un campo r' linearmente misurabile, tale che l'aggregato 

 r' — r è di misura nulla; l'aggregato r' — rè (osserv, 2 a del n° 2) con- 

 tenuto in un aggregato E di misura superficiale nulla, misurabile linearmente. 

 Quindi (cfr. la dim. del teor. del n° 2) esiste soltanto un aggregato di mi- 

 sura nulla di rette x = cost, oppure y = cost, che intersechino E, o T' — r 

 in un aggregato di misura lineare non nulla. Se <p(x , y) è una funzione 

 uguale a f(x , y) in r, e nulla in T' — r si ha dunque : 



(') Infatti, poiché si può parlare di integrali estesi a r, il campo r è (superficial- 

 mente) misurabile. Si ricordi poi l' osserv. 2 a del n° 2. 



E di più si ha: 



