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offre ora il medesimo grado di semplicità e di sviluppo come quella parti- 

 colare delle trasformazioni delle superfìcie a curvatura costante.. 



Nella presente Nota darò soltanto gli enunciati delle principali propo- 

 sizioni della nuova teoria, riserbando ad un'ampia Memoria, che sto prepa- 

 rando, gli sviluppi e le dimostrazioni. 



2. L'elemento geometrico essenziale per le trasformazioni delle super- 

 ficie a curvatura costante è fornito, come ben si sa, da una particolare classe 

 di congruenze rettilinee, le cui due falde focali hanno la medesima curva- 

 tura costante e sono per ciò applicabili l'ima sull'altra e sopra una mede- 

 sima sfera. Queste congruenze sono congruenze W, cioè sulle loro falde focali 

 si corrispondono le linee asintotiche (i sistemi coniugati). Ma il fatto più 

 importante sul quale si fonda la teoria di queste trasformazioni consiste in 

 ciò che: ogni superficie S di curvatura costante dà luogo ad oo 2 congruenze 

 della detta specie, di cui S è la prima falda focale; le seconde falde focali Si 

 dànno allora le superfìcie trasformate. 



Colla nuova teoria estendiamo questi risultati alle deformate di tutte 

 le quadriche, dimostrando che se alla sfera si sostituisce una qualunque 

 quadrica Q sussistono ancora i medesimi fatti fondamentali, e cioè in primo 

 luogo : esistono infinite congruenze rettilinee W (dipendenti da due funzioni 

 arbitrarie) le cui due falde focali sono applicabili sulla quadrica Q. Preci- 

 siamo il grado di arbitrarietà di queste congruenze col seguente teorema 

 fondamentale : 



Teorema A). Ogni superficie S apiplicabile sopra una quadrica Q 

 appartiene, come prima falda focale, ad, una doppia infinità di congruenze 

 rettilinee W, le cui seconde falde focali Sj sono applicabili sulla mede- 

 sima quadrica Q. 



Il passaggio dalla deformata iniziale S della quadrica Q ad una qua- 

 lunque delle nuove S! dà una delle oo 2 trasformazioni della S che noi 

 consideriamo. 



3. Nelle trasformazioni di una data deformata S della quadrica fonda- 

 mentale Q entrano, come si è detto, due costanti arbitrarie, che conviene 

 innanzi tutto interpretare geometricamente. La prima di esse ha un signifi- 

 cato ben notevole, che riconosciamo nel modo seguente. Prendiamo una delle 

 nostre congruenze W, colle falde focali S , Si applicabili sulla quadrica Q, 

 e consideriamo sopra S , Si le infinite coppie di punti corrispondenti F , F, , 

 che sono i punti (fuochi) ove i raggi della congruenza toccano S , Si . Im- 

 maginiamo che la superficie S si fletta trasportando seco, invariabilmente 

 legati, i segmenti tangenti FI\, e deformiamo la S sino ad applicarla sulla 

 quadrica Q. Abbiamo allora il semplice e fondamentale risultato: 



/ termini I\ dei segmenti FFi, così trasportati sulla quadrica Q, 

 si dispongono sopra una seconda quadrica Qi omo focale a Q, che forma 

 il loro luogo. 



