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Dipendentemente dalla prima costante della trasformazione, la qua- 

 drica Qi può occupare una qualunque posizione nel detto sistema confocale. 

 Per questa prima costante si può dunque assumere, come faremo, precisa- 

 mente il parametro k, col quale individuiamo la quadrica Qi nel sistema; 

 la nostra trasformazione sarà indicata corrispondentemente col simbolo B fc . 



Per un assegnato valore di k la trasformazione B ft fa nascere dalla 

 superficie iniziale S una semplice infinità di superficie trasformate S! . Per 

 trovare effettivamente queste oo l trasformate Si abbiamo da integrare una 

 equazione differenziale del tipo di Eiccati, nei cui coefficienti entra già la 

 prima costante k. 



La seconda costante viene introdotta dalla integrazione e, disponendo 

 di questa, potremo fissare ad arbitrio, per un punto iniziale E della S , la 

 direzione del raggio FFi della congruenza. Si disporrà insieme delle due co- 

 stanti fissando (ad arbitrio), nel piano tangente in un punto iniziale F alla S, 

 il segmento focale FFi , in grandezza ed orientazione. 



È da notarsi poi che le nostre trasformazioni B? ; esistono sempre anche 

 per quei particolari valori di k che riducono la quadrica confocale Qi 

 ad uno dei 'piani principali (contato due volte). È questo un caso parti- 

 colare ben notevole delle trasformazioni B k . 



4. Il presentarsi di un'equazione di Riccati nel nostro problema d'in- 

 tegrazione corrisponde ad una proprietà geometrica, che occorre approfondire. 



Se consideriamo le oo 1 trasformate Si della superficie iniziale S per 

 mezzo della trasformazione B ft , la semplice infinità di punti F, delle S ( , 

 che corrispondono ad un determinato punto F di S, formano, nel piano tan- 

 gente di S in F, una linea luogo. Basta ricordare quanto abbiamo detto 

 sopra per riconoscere che questo luogo è una conica C; così abbiamo in 

 ciascuno degli oo 2 piani tangenti di S una conica C , la cui forma e giaci- 

 tura nel piano tangente sono invariabilmente legate alla S nelle sue fles- 

 sioni e: quando la S si distende sulla quadrica Q, seco trasportando le 

 oo 2 coniche C , queste diventano le sezioni prodotte dai piani tangenti 

 di Q nella quadrica confocale Qi . 



Ciò premesso, la interpretazione geometrica della equazione di Riccati 

 risulta dal teorema seguente: 



Le oo 1 superficie Si, trasformate della iniziale S, segnano sopra le 

 coniche C, tracciate nei piani tangenti di S , serie proiettive di punti. 



Basta quindi introdurre come incognita il parametro t da cui dipendono 

 razionalmente le coordinate di un punto mobile sulla conica C e l'equazione 

 (ai differenziali totali) per determinare il valore di t al punto d' incontro 

 di Si colla conica C assume conseguentemente la forma di Riccati. 



Corrispondentemente poi a quanto abbiamo notato alla fine del numero 

 precedente, rispetto alle singolari trasformazioni B s per le quali la quadrica 

 confocale Qi si riduce ad un piano principale, è da osservarsi che: in questo 



