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6. Un'altra proprietà della corrispondenza fra i punti delle due falde 

 focali S , Si risulta dal considerare quel sistema coniugato di S che si con- 

 serva coniugato quando S si applica sulla quadrica Q, e l'analogo sistema 

 coniugato permanente di Si nell'applicabilità sopra Q stessa. Si è visto che 

 la corrispondenza fra S , Sj conserva i sistemi coniugati ; ma di più abbiamo 

 il teorema: 



Al sistema coniugato comune ad S e alla quadrica applicabile Q cor- 

 risponde sopra Si il sistema coniugato comune ad Sj,Q. 



Per teoremi dovuti a Darbouz e Servant, questo sistema coniugato co- 

 mune sopra S , come sopra Si , è un sistema isotermo-coniugato (eccettuato 

 il caso che S , Si siano rigate). 



Fermiamoci un momento a considerare cosa diventano i teoremi del 

 numero precedente, e dell'attuale, nel caso particolare delle superficie a cur- 

 vatura costante. La legge di applicabilità, data dalla affinità di Ivory, si 

 converte nella relazione d'applicabilità delle due falde di una congruenza 

 pseudosferica, secondo la quale ogni punto F della prima falda S , applicando 

 S sulla seconda falda Si , si trasporta a distanza geodetica costante dal punto 

 corrispondente Fi di S x ( J ). 



Quanto all'altro teorema della conservazione dei sistemi coniugati per- 

 manenti nelle rispettive applicabilità di S , Si sopra Q, si muta quando Q 

 diventa una sfera, nella proprietà della corrispondenza delle linee di curva- 

 tura sulle due falde della congruenza. 



7. Kitorniamo alle trasformazioni generali B ft delle superficie applica- 

 bili sulla quadrica Q. 



Per trovare effettivamente le oo 1 trasformate Si abbiamo da integrare 

 un'equazione di Kiccati, della quale adunque basta conoscere una soluzione 

 particolare per compiere l' integrazione con quadrature. Dopo ciò, siccome di 

 ciascuna Si conosciamo già una trasformata, l' iniziale S , non occorrono più 

 altro che quadrature per proseguire illimitatamente nelle nostre trasformazioni. 



Ma anche qui, come per le superficie a curvatura costante, possiamo 

 perfezionare ulteriormente il metodo e risparmiare le quadrature, appoggian- 

 doci sul seguente teorema: 



Teorema B). Se da una superficie S applicabile sulla quadrica Q 

 si sono dedotte due nuove superfìcie Si , S 2 , applicabili sulla medesima 

 quadrica, mediante due trasformazioni B ftl , B ft2 corrispondenti a due co- 

 stanti ki , k 2 differenti (ossia a due distinte quadriche Qi , Q 2 del sistema 

 confocale), esiste una quarta superficie S' della medesima natura, perfet- 

 tamente determinata, che è legata alle due stesse Si , S 2 da due altre tras- 

 formaseli B' kì , B' ki colle costanti k x , k% permutate. Questa quarta super- 



(') V. le mie Lezioni di geometria differenziale (2 a edizione, t. II, pag. 409). 



