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fide S', note che siano le tre S,Si,S 2 , si trova in termini finiti senza 

 calcoli d'integrazione. 



Da questo teorema, che diciamo il teorema di permutabilità, segue 

 che basta avere integrato completamente, per un valore arbitrario di k, la 

 prima equazione di Riccati che si presenta nell'applicazione del metodo 

 di trasformazione, e tutte le seguenti equazioni di Riccati saranno senz'altro 

 insieme integrate, senza che più occorra alcuna quadratura. 



8. Fra le deformate delle quadriche meritano particolare menzione le 

 deformale rigate. Attualmente, per restare al caso reale, supporremo che 

 la quadrica fondamentale Q sia essa stessa rigata e si tratti dunque o di 

 un paraboloide iperbolico, o di un iperboloide ad una falda. In primo luogo 

 abbiamo che, se la deformata S della quadrica Q è una rigata R, anche 

 tutte le superficie trasformate Si , per una qualunque B fe , saranno altrettante 

 rigate Ri. La costruzione delle co 1 trasformate rigate Ri di una rigata R, 

 applicabile sopra Q, assume allora una forma particolarmente espressiva 

 data dal teorema seguente: 



Se la quadrica Q rotola sopra una qualunque sua deformata rigata R. 

 seco trasportando rigidamente connessa la quadrica confocale Q, , le ge- 

 neratrici {dell'uno o dell'altro sistema) di Q t generano una congruenza r, 

 entro cui esistono oo 1 superficie rigate Ri, perfettamente determinate, 

 ciascuna delle quali forma con R le due falde focali di una congruenza W. 

 Queste nuove rigate Ri sono alla loro volta applicabili sulla medesima 

 quadrica Q, e danno le oo 1 trasformate della R per la trasformazione B k 

 corrispondente alla quadrica confocale Qi . 



Qui notiamo ancora tre casi particolari. 



Se si fa coincidere Q, con Q, si deve prendere per congruenza r la 

 congruenza (normale) delle tangenti a quelle geodetiche curvilinee di R che 

 corrispondono alle generatrici di Q dell'altro sistema. In questo caso si ot- 

 tengono le rigate R x , associando quelle tangenti lungo le singole asintotiche 

 curvilinee di R. E in effetto, per un teorema generale dovuto al dottore 

 Chieffi ( 1 ), questo rigate Ri sono applicabili sulla quadrica Q. 



Un secondo caso particolare notevole si ottiene prendendo per Q un 

 iperboloide (rigato) rotondo. Si sa allora che sopra ciascuna deformata ri- 

 gata R di Q il circolo di gola dell' iperboloide diventa una curva di Ber- 

 trand. Le nostre trasformazioni diventano per le curve di Bertrand quelle 

 trasformazioni che, trovate in un caso particolare da Demartres, furono poi 

 considerate in generale da Razzaboni ( 2 ). 



(') Sulle deformate dell'iperboloide rotondo ad una falda, Giornale di matematiche 

 serie 2 a , t. 12 (v. n. 1). 



( 2 ) Cfr. la mia prima Memoria citata, §§ 22-24. 



