— 713 — 



Supponiamo infine di ridurre la quadrica Q t ad un piano principale 

 (n. 3); le sue generatrici diventano allora le tangenti della corrispondente 

 conica focale e si ha il teorema: Se la quadrica Q rotola sopra una sua 

 deformata rigata R, le tangenti di una conica focale di Q, trasportata 

 da Q nel rotolamento, generano una congruenza che contiene le 00 1 tras- 

 formate rigate R a della R per quella B ft che corrisponde a ridurre la 

 quadrica confocale Qi al piano (principale) della conica. 



9. Ritorniamo ancora alle trasformazioni B ft delle generali deformate S 

 della quadrica Q che supporremo, come nel numero precedente, a genera- 

 trici reali affinchè siano reali le asintotiche sulle deformate S . Vogliamo 

 segnalare alcune notevoli proprietà, dalle quali risulterà come le trasforma- 

 zioni B ft possano anche riguardarsi quali trasformazioni di singole curve, 

 cioè delle asintotiche delle superficie applicabili sulle quadriche. 



Fissiamo sulla superficie iniziale S una qualunque sua asintotica a e, 

 scelto un punto F di a, fissiamo ancora il segmento focale FFj , che gia- 

 cerà nel piano osculatore di a . Teniamo allora fissa la linea asintotica a 

 ed il segmento FF! e deformiamo in modo continuo la superficie S attorno 

 alla asintotica rigida a (*); quella trasformazione B ft della S che è indivi- 

 duata dal segmento fissato FF! cangierà la S, in ogni sua configurazione, 

 in una determinata trasformata S t . Abbiamo allora il teorema: Se la su- 

 perficie S si deforma attorno alla asintotica rigida a , resterà fissa altresì 

 la asintotica corrispondente a x sulla superficie trasformata Si , e questa 

 si deformerà a sua volta attorno alla asintotica rigida a x . 



La nuova curva a x viene così a dipendere unicamente dalla primitiva a, 

 e dal segmento FF l5 fissato nel piano osculatore di a nel punto iniziale F. 

 Ne segue appunto che possiamo risolvere le nostre trasformazioni di super- 

 ficie in trasformazioni delle loro singole asintotiche, precisamente come S. 

 Lie ha risoluto le trasformazioni delle superficie pseudosferiche in quelle 

 delle curve a torsione costante che ne sono le linee asintotiche. 



10. Dal teorema superiore deduciamo un'altra conseguenza importante. 

 Fra le deformate della S che lasciano rigida la linea asintotica a ve ne 

 sono due, perfettamente determinate, che convertono la S in una superficie 

 rigata. Queste due rigate corrispondono ai due sistemi di generatrici di Q 

 e si ottengono (pel teorema di Chieffi) conducendo nei punti della asintotica a 

 le tangenti alle geodetiche di S trasformate delle generatrici dell'uno o del- 

 l'altro sistema di Q. Abbiamo dunque il teorema: 



Se sulle due falde focali S , Si di una delle nostre congruenze si 

 considerano due asintotiche corrispondenti a , «i , e nei punti di queste si 



(') Si sa che le linee asintotiche di una superficie possiedono la proprietà di essere 

 linee di piegamento, cioè intorno ad una di esse mantenuta rigida si può flettere la su- 

 perficie. Queste flessioni con asintotica rigida dipendono da una funzione arbitraria. 



