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tirano le tangenti alle geodetiche di S trasformate delle generatrici del- 

 l'uno o dell'altro sistema di Q, le due rigate K,Ki, che si formano, 

 sono nuovamente le due falde focali di una congruenza W, ed aptplicabili 

 sulla quadrica Q. 



Con questa costruzione, note che siano le linee asintotiche delle due 

 falde focali S , Si , si deducono in termini finiti due serie di oo 1 altre con- 

 gruenze della medesima specie, con falde focali rigate. 



È da notarsi che il teorema superiore vale ancora se le due falde fo- 

 cali S , Si sono esse stesse rigate, purché la costruzione si faccia rispetto 

 alle geodetiche corrispondenti a quelle generatrici di Q che hanno perduto 

 sopra S , S, la loro forma rettilinea. 



11. Le nostre trasformazioni B ft si applicano a tutte quelle superfìcie 

 il quadrato del cui elemento lineare è riducibile al ds 2 di una quadrica 

 reale od immaginaria. E, se pure ci limitiamo a considerare fra queste su- 

 perficie soltanto le reali, ne abbiamo parecchie classi le cui quadriche cor- 

 rispondenti sono immaginarie. Così p. es. esistono trasformazioni B k reali 

 per la classe di superficie r.eali applicabili suìYellisoide immaginario. 



a 2 b~ c 2 ' 



In particolare quando a — b = c, queste superfìcie sono le pseudosferiche 

 di curvatura 



r=-4, 



a- . vii--; hh u 



e le corrispondenti B h diventano le trasformazioni di Backlund. 



Ma consideriamo ora particolarmente il caso che la quadrica fondamen- 

 tale Q sia reale. Allora le trasformazioni reali B k delle deformate reali di Q 

 si ottengono assumendo per quadrica confocale Qi del n. 3 una quadrica ri- 

 gata. Ne risulta che se la quadrica Q è essa stessa rigata, l'affinità di Ivory 

 (n. 5) fa corrispondere ai punti reali di Q t punti reali di Q , e le due falde 

 focali S , Si delle nostre congruenze sono in realtà applicabili l'una sull'altra, 

 per le loro regioni reali. Quando invece la quadrica Q è a punti ellittici, 

 la corrispondenza di Ivory trasforma la regione reale di Qi in una imma- 

 ginaria di Q ; i due elementi lineari di S , Si sono sempre analiticamente 

 equivalenti, ma la regione reale di S corrisponde ad una ideale di Si . Di- 

 remo nel primo caso che l'applicabilità di S sopra S x è reale, nel secondo 

 ideale. 



Abbiamo dunque : Se la quadrica fondamentale Q è a punti iperbolici 

 (paraboloide iperbolico, iperboloide ad una falda) l' applicabilità delle 

 due falde focali S , Si di una delle nostre congruenze è reale ; se invece Q 



