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è a punti ellittici (paraboloide ellittico, ellissoide, iperboloide a due falde) 

 la loro applicabilità è soltanto ideale. 



In quest'ultimo caso, per ottenere dalla superficie iniziale S superficie 

 derivate applicabili realmente sopra S, conviene eseguire un numero pari 

 di trasformazioni. 



Supponiamo ora in particolare che la quadrica Q sia rotonda. Nel si- 

 stema confocale determinato da Q vi sono effettive quadri eh e rigate solo 

 quando Q è un iperboloide ad una falda o un ellissoide schiacciato, mentre 

 per le altre tre forme rotonde (paraboloide, ellissoide allungato, iperboloide 

 a due falde) le quadriche rigate del sistema confocale si riducono ai piani 

 per l'asse e le trasformazioni reali corrispondenti spariscono. Ne risulta che: 

 per le quadriche rotonde (reali) si hanno trasformazioni B h reali solo 

 per le due forme dell'ellissoide schiacciato e dell'iperboloide ad una falda; 

 per le altre tre forme le Ir as formazioni sono soltanto immaginarie. 



Questi risultati sono in perfetto accordo con quelli già da me stabiliti 

 con ricerca diretta nelle due Memorie citate. 



12. Veniamo da ultimo a parlare di un' altra trasformazione delle de- 

 formate delle quadriche, di natura ben diversa dalle trasformazioni B; £ fin 

 qui considerate; quest'altra trasformazione è involutoria ed assimilabile sotto 

 molti rapporti alla trasformazione di Hazzidakis per le superficie a curva- 

 tura costante positiva. 



Secondo quanto ho dimostrato in una mia Nota dell'aprile 1903, inse- 

 rita in questi Kendiconti, ad una quadrica generale Q ne corrisponde un 

 altra Q , determinata a meno di un'omotetia, coniugata in deformazione 

 della Q. Le due quadriche Q , Q, che possono assumersi nello stesso sistema 

 confocale, si corrispondono in una proiettività che conserva (oltre ai sistemi 

 coniugati) le linee geodetiche. Ne segue (loc. cit.) che ad ogni sistema di 

 linee asintotiche virtuali sopra Q corrisponde un analogo sistema sopra Q , 

 talché ogni deformata S di Q ne individua una S di Q, corrispondendosi 

 ancora sopra S , S i sistemi coniugati e le geodetiche. 



Nel passaggio dalla deformata S di Q all'altra deformata S di Q con- 

 siste la trasformazione involutoria che dobbiamo ora considerare, e che in- 

 dichiamo col simbolo H ; le due superficie S , S si diranno anche coniugate 

 in deformazione. 



La trasformazione involutoria H delle deformate delle quadriche ha a 

 comune colle trasformazioni B k le proprietà segnalate ai nn. 9 e 10; e cioè: 

 1°. Se la superficie S si deforma attorno ad una sua asintotica 

 rigida a, la sua coniugata in deformazione S si deforma similmente at- 

 torno alla corrispondente asintotica rigida a. 



2°. Se alle due superficie S , S coniugate in deformazione si cir- 

 coscrivono lungo due linee asintotiche corrispondenti a ,a le rigate E , R 

 Eendiconti, 1907. Voi. XVI, 1° Sem. 91 



