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Matematica. — Sopra la configurazione di Kummer e il 

 suo intervento nella teoria delle cubiche gobbe. Nota di Luigi 

 Berzolart, presentata dal Socio C. Segre. 



Malgrado i molteplici punti di vista dai quali è stata studiata la con- 

 figurazione di Kummer, ritengo non privo d' interesse fame conoscere la 

 seguente semplicissima costruzione geometrica, dalla quale si deduce pres- 

 soché immediatamente un notevole teorema, che stabilisce uno stretto legame, 

 a quanto sembra non ancora osservato, tra quella configurazione e la teoria 

 delle cubiche gobbe 



1. Siano Ui , Vi ; u 2 , v 2 ; u 3 . v 3 tre coppie di generatrici, a due a due 

 armoniche, di una rigata quadrica R , appartenente ad una superficie S di 

 2° ordine. Prese come assi, esse individuano tre involuzioni rigate I t , I 2 , 1 3 , 

 di cui ciascuna è il prodotto delle altre due (eseguito in un ordine qua- 

 lunque) ; di guisa che si ottiene un' involuzione Sì di 4° ordine, i cui oo 3 

 gruppi son formati dai singoli punti dello spazio coi loro coniugati in 

 li , I 2 , I3 - / punti di un gruppo sono vertici d'un tetraedro autoreciproco 

 rispetto ad S , a meno che non giacciano tutti sopra una generatrice della 

 rigata trasversale di R. 



Dicansi Ai , A 2 , A 3 , A 4 i punti d'un gruppo generico di -Q, in modo 

 che Ai , A 2 , A 3 siano i coniugati di A 4 in Ì x , I 2 , 1 3 , epperò A 2 e A 3 coniu- 

 gati tra loro in I x , A 3 e A! in I 2 , Aj e A 2 in I 3 . Se a formare similmente 

 un secondo gruppo Bi B 2 B 3 B 4 si parte da un punto B 4 del piano Ai A 2 A 3 , 

 i due tetraedri Ai . . . A 4 e Bi . . . B 4 risultano di Móbius. Invero le rima- 

 nenti facce A 2 A 3 A 4 , A 3 A! A 4 , Ai A 2 A 4 del primo, essendo coniugate alla 

 Ai A 2 A 3 risp. in I, , I 2 , 1 3 , contengono ordinatamente i vertici Bi , B 2 , B 3 

 del secondo; che poi questo sia alla sua volta circoscritto al primo nel modo 

 anzidetto, si riconosce trasformando l'uno e l'altro con la polarità rispetto ad S . 



Costruendo allora di Sì un terzo gruppo Ci C 2 C 3 C 4 , dove C 4 è un punto 

 generico della retta comune ai piani A, A 2 A 3 , Bj B 2 B 3 , e poi un quarto gruppo 

 Di D 2 D 3 D 4 , in cui D 4 è l' intersezione dei piani Ai A 2 A 3 , Bi B 2 B 3 , Ci C 8 C 3 , 

 i vertici e te facce dei quattro tetraedri risultanti (A) , (B) , (C) , (D) sono 

 gli elementi d'una configurazione di Kummer. Basta infatti ( 2 ) osservare 



( 1 ) In un prossimo lavoro mostrerò come lo stesso teorema sussista, più general- 

 mente, per le curve gobbe razionali d'ordine dispari, dotate di quattro punti d' ipero- 

 sculazione. 



( 2 ) Cfr. Ciani, Sopra la configurazione di Kummer, Giorn. di mat., 34 (1896), 

 pag. 177; 37 (1899), pag. 62; Martinetti, Soprala configurazione di Kummer, ihià., 35 

 (1896), pag. 235. 



