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(C) e (A), (B) e (D); (A) e (B) , (C) e (D) . Dicendo N; , Ni , N 3 le rela- 

 tive polarità nulle (a due a due permutabili), il prodotto di due qualunque 

 è altresì il prodotto della rimanente per la polarità rispetto ad S, ed è 

 un' involuzione rigata, nella quale son tra loro coniugati i vertici di due dei 

 quattro dati tetraedri ed anche i vertici degli altri due ; così nell' involuzione 

 N 2 N 3 = N 3 N 2 son coniugati ai punti Bj , . . . , B 4 i punti d , ... . , G 4 , ed ai 

 punti A) , . . . , A 4 i punti D x , . . . , D 4 . Gli assi delle tre involuzioni sono 

 tre coppie, a due a due armoniche, di generatrici dell'altra schiera di S ('). 



Siano Ui , Vi ; u 2 , v 2 ; u 3 , v 3 le generatrici di E passanti per i punti d' in- 

 contro di S con le rette A ; A 4 , A 2 A 4 , A 3 A 4 , e dicansi l x , I 2 , 1 3 le invo- 

 luzioni rigate aventi per assi queste tre coppie di rette. Anche la A 2 A 3 , 

 essendo reciproca di X l A 4 rispetto ad S, taglia u x e v x , epperò A 2 e A 3 , 

 al pari di A, e A 4 , sono coniugati in L ; similmente A 3 e A,, come A 2 e A 4 , 

 son coniugati in I 2 , e Aj,A 2 , come A 3 , A 4 , in I 3 . Se poi si chiamano 

 P e Q le intersezioni di Ui con A 2 A 3 e di v x con AjA 4 , la retta PQ ap- 

 partiene ad S, quindi taglia u 2 e v 2 . Perciò il coniugato di P in I 2 , dovendo 

 giacere sulla PQ e sulla coniugata di A 2 A 3 , che è Ai A 4 , sarà Q. Si con- 

 clude che nella schiera R le coppie di generatrici Ui , v x ; u 2 , v 2 ; u 3 , v 3 si 

 separano a due a due armonicamente, epperò individuano, nel modo che si 

 è detto al n° 1, un' involuzione biquadratica Sì, di cui un gruppo è A, A 2 A 3 A 4 . 

 Altri tre gruppi son formati dai vertici di (B) , (C) , (D) , giacché, appoggian- 

 dosi gli spigoli di (A) ordinatamente alle u x , v x ; u 2 , v 2 ; u 3 , v 3 , lo stesso 

 avviene degli spigoli degli altri tre tedraedri corrispondenti a quelli nelle 

 involuzioni rigate N 2 N 3 , N 3 NI , NI N 2 . TJiia data configurazione di Kummer 

 pud dunque generarsi j in 20 modi diversi, con la costruzione del n. 1. 



3. Sia r 3 una cubica gobba, e scelti su essa quattro punti Ai , A 2 , A 3 , A 4 , 

 siano Ui , Vi ; U 2 , V 2 ; U 3 , V 3 le coppie (a due a due armoniche, su r 3 ) dei 

 punti doppi delle tre involuzioni individuate sulla curva risp. dalle coppie 

 A 2 , A 3 ed A x , A 4 ; A 3 , Aj ed A 2 , A 4 ; A x , A 2 ed A 3 , A 4 di punti coniugati. 

 Le rette U 4 V f , U 2 V 2 , U 3 V 3 sono le generatrici che a due a due hanno in co- 

 mune le tre schiere rigate composte di corde di r 3 e risp. determinate dalle corde 

 congiungenti le dette coppie di punti coniugati. Chiamando B, la schiera che 

 ha per direttrici le rette stesse, le sue coppie di generatrici u x , v x ; u 2 , v 2 ; u 3 , v 3 

 uscenti dalle coppie di punti Ul', Y i ; U 2 , V 2 ; U 3 , V 3 sono a due a due ar- 

 moniche, e, prese come assi, individuano tre involuzioni rigate I 4 , 1 2 , 1 3 , due 

 qualunque delle quali hanno per prodotto la terza, mentre ciascuna trasforma 

 la cubica in sè. Ne risulta, come al n° 1, un'involuzione Si del 4° ordine: 

 la quale, nel caso presente, è così fatta che se un suo gruppo ha su r 3 uno 

 de' suoi punti, vi ha pure i tre punti rimanenti. La cubica contiene pertanto 



(*) Per le proprietà qui usate di due tetraedri di Mobius cfr. Caporali e Del Pezzo, 

 Introduzione alla teorìa dello spazio rigalo (1885), nelle Memorie di geometria del Ca- 

 porali, Napoli 1888, pag. 270 (§ X). Cfr. pure Sturm, loc. cit., Bd. 1, pag. 70. 



