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Matematica. — Sulla risoluzione apiristica delle congruenze 

 binomie. Nota 2 a di Michele Cipolla, presentata dal Corrispondente 

 A. Venturi. 



In nna precedente Nota di egual titolo, noi ci occupammo della riso- 

 luzione apiristica di una congruenza binomia, di cui il grado e il modulo 

 sono potenze di uno stesso numero primo. 



Qui vogliamo considerare il caso generale di una congruenza binomia 

 di grado n , secondo il modulo p m , essendo p un numero primo dispari ed n 

 un divisore qualunque di p m ~\p — 1). 



Questo caso richiede la considerazione dei cosiddetti sistemi completi 

 n imo g ra do {mod. p m ) • il quale concetto, estensione di quello introdotto per 

 la prima volta da noi nella risoluzione apiristica delle congruenze binomie 

 secondo un modulo primo, ci condurrà alla ripartizione dei numeri di un 

 sistema completo di resti (mod. p m ) in altri sistemi, in ciascuno dei quali 

 esiste uno ed un sol numero che sia soluzione di una data congruenza bi- 

 nomia (mod. p m ). Dopo ciò non sarà difficile giungere alle cercate forinole 

 di risoluzione. 



§ 1. — Sistemi completi di n imo grado {mod. p' m ). 



1. Se i numeri 



(1) «ufi-i - , n 



sono primi con p e le loro potenze n ime sono incongrue fra loro (mod. p m ) 

 e inoltre formano un gruppo secondo il modulo p m stesso, noi diremo che 

 essi costituiscono un sistema completo di n imo grado (mod. p m ) J d'ordine k. 



L'ordine k è un divisore di 1 y '- , poiché il gruppo cornspon- 



n 



dente delie potenze ri ime è un divisore del gruppo d'ordine , 



formato da tutti i residui ra-ici di p m , incongrui fra loro (mod. p m ). 



Le poterne n ime dei numeri (1) sono tutte le soluzioni della congruenza 



(2) x k = 1 (mod. p m ). 



Infatti, se (i è il periodo di r'i , p. es., sarà p un divisore di k , onde 

 rf è una soluzione della congruenza = 1 (mod. p m ), e però della (2). 

 Tutte le potenze n ime dei numeri (1), soddisfacendo alla congruenza (2) ed 

 essendo incongrue fra loro (mod. p m ) e in numero di k, son tutte le solu- 

 zioni della (2). 



