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Se fi , y 2 , ... , y n sono tutte le soluzioni della congruenza x n = 1 

 (mod. /'"), i numeri r t /„ (i = 1 , 2 , ... , k ; ','«, = 1,2,...??) si possono ri- 

 partire nei sistemi 



r.iYi , r:\ Yi , ... , ny* 

 r 2 Yi , ^2/2 , ••• , r 2 y n 



nYi 5 ^»/2 . - ^ 7vy«- 



È «Maro che un sistema completo di n tmo grado (mod. p m ) contiene 

 uno ed un sol numero di ciascun sistema del quadro (3), onde coi <p(p m ) 



numeri di un sistema completo di resti primi con p, secondo il mod. p m , 

 si possono formare sistemi completi di n imo grado {mod. p m ), d'ordine k. 



2. Sia 



(4) Ri , E 2 , ... , R ft 



un gruppo di residui w-ici (un sistema completo di n imo grado) secondo il 

 mod. p m , d'ordine k; si può facilmente dimostrare che se k è divisibile per 

 p r (r ^=Lm — 1) ed s è un numero intero non superiore ad r i numeri (4) 

 si possono ripartire in p s gruppi di residui n-ici (sistemi completi di 



k 



n imo g ra dQ} secondo il mod. p m ~ s J tutti dell'ordine — ; e se invece k non 



è divisibile per p, ma è un divisore di ^^ m_r-1 (i ) — 1) il gruppo (il si- 

 stema) (3) è anche un gruppo di residui w-ici (un sistema di n imo grado) 

 secondo il mod. p> m ~ r - 



Tralasceremo per brevità le dimostrazioni di questi teoremi, che si fon- 

 dano del resto sui più elementari concetti della teoria generale dei gruppi 

 e della teoria delle congruenze. 



3. Se k non è divisibile per p e i numeri 



(4) S/X, ... , S ft 



formano un gruppo di residui n-ici, secondo il mod. p m ~ r , i numeri 



(5) Sf ,Sf ,,..,Sf 



formeranno un gruppo di residui n-ici secondo il mod. p m . 



Infatti i numeri (4) sono tutte le soluzioni della congruenza x k = 1 

 (mod. p m ~ r ), e però tutti i numeri (5), che sono incongrui fra loro (mod. p m ), 

 sono le soluzioni della congruenze = 1 (mod. p m ), e quindi formano un 

 gruppo di residui w-ici secondo il mod. p m . 



4. Un gruppo di residui n-ici (mod. p m ) lo diremo proprio, quando 

 due numeri qualunque di esso non sono mai congrui fra loro secondo il 

 mod. p m . Così pure si dirà che i numeri di un sistema completo di n [mo grado 



