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(mod. p m ) formano un sistema proprio quando le loro potenze n ime formano 

 un gruppo proprio. 



Dai teoremi dei nn. 2 e 3 risulta subito che condizione necessaria e 

 sufficiente perchè un sistema completo di n imo grado {un gruppo di residui 

 n-ici) sia proprio è che il suo ordine k non sia divisione per p. Inoltre se 



(6) Qi , Q 2 , ••• , Qh 



è un sistema completo e proprio di n imo grado {mod. p m ), si può porre 



(7) Qi = rf' 1 (mod. p m ) , (i = 1 , 2 , ... k) , 



essendo 



h ,r z , ... , r H 



un sistema completo di n' mo grado secondo il mod. p. 



v — 1 



5. Ciò posto, sia v un divisore di p — 1 , e k = , siano inoltre 



v 



li > ti , ... , tpm— i 



tutte le soluzioni della congruenza 



(8) xv m ~ l = 1 (mod. p m ) 

 e formiamo il quadro 



tiQi , tiQ 2 , ... . tiQh 



(9) 



\ tpm— i Qi , tpm—i Q 2 , ... , tpm— 1 Qfr . 



È facile vedere che in questo quadro sono distribuiti in p m ~ l sistemi 

 i numeri di un sistema completo di v imo grado (mod. p m ), le cui potenze 

 v ime gono f u ffó [ residui v-iei di p m , primi con p. È importante poi osser- 

 vare che se a è un residuo v-ico di p m , vi è nel quadro (9) un sistema 

 solo che ammetta una soluzione (e una soltanto) della congruenza 



(10) 2" = a (mod. p m ) . 



Infatti si scorge subito che il numero 



p m —ìp m — '-i-i 

 t 0 = a 5 (mod. p m ), 



è una soluzione della (8) ; sia ora r 0 quel numero del sistema (9), che ve- 

 rifica la congruenza x~* = a (mod. p), si avrà 



r£ == a p (mod. p m ) 



cioè, posto Q 0 = r v ™ 1 (mod. p m ), 



(11) ^=^ m_1 (mod. p m ) 



