10. La (23) può anche mettersi sotto una forma più semplice. A tal 

 fine si osservi che esiste sempre un numero Yi appartenente all'esponente fi 

 (mod. p), tale che sia 



p-i 



(28) h * = Y ( mod - PÌ- 



Si ponga allora 



(29) Qi = rf 1 (mod. p m ) 



e nella (22) si muti ? in q x . Posto quindi 



, V — 1 



(30) ko.v — a==h^ , 



fi, 



e osservando che, per la (28) e la (30), si ha 



9Ì **"^ = Q *** , gfi^i*** (mod.*"), 

 si ottiene che Y espressione 



v p r ' i -'(p-i-> 



(31) --. te \ 2.7^1 



è congrua (mod. p m ) alla potenza a ima di una soluzione della (10). 



Applichiamo la (31) al caso di n = 2 e a— 1. Se 2 r è la più alta 

 potenza di 2 che divide p—l, si può porre 



e poiché, com'è facile osservare, si ha 



q*'" 1 ==— 1 (mod. p m ), 



si conclude che l'espressione 



S=0 



è una soluzione apiristica della congruenza x 2 = a (mod. p m ). 



11. Quando si vogliono calcolare le radici di una congruenza binomia 

 qualunque si assumerà per fi il minimo valore possibile, cioè il prodotto 

 dei fattori primi di n, con quell'esponente col quale entrano in p — l. 



