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I primi due integrali, pel 2° lemma di Green, sono eguali; quindi per 

 k x =j= k 2 risulta 



Jd^o dt = 0. 



Da questa relazione, al modo solito, si deduce che i poli sono reali. 



È poi chiaro che tali poli debbono cadere tra — le — co . Del resto 

 si può osservare che 



(u } J 2 ih -j- • • • ) dt = ki J 0\ dr = — J [(grad Ux) z + ■ • • ] d% ; 



dunque kx è negativo. 



Poscia, osservando che 



C~òU\ ~òv x , C ~òu x 7>Vi , 



ut = de , ecc. 



J ~~òx ~òy J ~òy ~òx 



si deduce pure 



J"[(grad UxY + • • ■ 2 dt = J&\ dr -J- 4 J^rot 2 s v de , 

 indicando con Sx lo spostamento (di componenti u x , v v , w x )- Dunque 



N>i- 



Com' è noto il fatto che i valori eccezionali sono reali, è comune ad una 

 estesa classe di equazioni integrali. Infatti il sig. Hilbert ( l ) ha dimostrato 

 che se la f{x , y) (il Kern dell'equazione integrale) è simmetrica in x ed y, 

 le radici del determinante dell'equazione sono reali. Si può enunciare un 

 teorema alquanto più generale, e relativo anche ai sistemi di equazioni inte- 

 grali, come pure altri teoremi relativi alla semplicità dei poli, e che per- 

 mettono di dedurre assai agevolmente moltissimi teoremi del sig. Plemelj ( 2 ) ; 

 ma su questi insisterò in altra occasione. 



(') Orundzuge e. allg. Theorie der linearen Integralgleichungen. Ersie Mitt. [Nach- 

 richten d. K. Gesell. d. Wiss. zu Gottingen, 1904, Heft 1, pag. 63]. 



( 2 ) Web. lineare Randwertaufgaben d. Potentialtheorie [Monatshefte fiir Mathem. u. 

 Physik, XV Jahrg.]. 



