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Matematica. — Sull'equazione delia propagazione del calore 

 in un filo. Nota del prof. Giuseppe Picciati, presentata dal Cor- 

 rispondente T. Levi-Civita. 



In una Nota (') dei Cornptes Kendus de l'Académie des Sciences il 

 prof. Volterra ha dato un metodo generale per l' integrazione dell'equazione 

 della propagazione del calore, a due variabili, ed ha stabilito una formula 

 che, sotto un' unica espressione, racchiude i diversi tipi di integrali di questa 

 equazione. L'applicazione del metodo del Volterra e l'uso della funzione di 

 Green (così chiamata dal Sommerfeld perchè compie nel problema della 

 propagazione del calore l'ufficio che nella teoria del potenziale compie la 

 funzione di Green) permettono di rappresentare, in forma semplice e com- 

 pendiosa, l' integrale tenendo conto delle condizioni ai limiti che valgono a 

 caratterizzarlo. In questa breve Nota mi propongo di assegnare, con tale 

 procedimento, l'espressione esplicita dell' integrale in un caso particolare. 

 Si tratta di un risultato sostanzialmente noto, ma non mi pare superfluo 

 presentarne una deduzione semplice, tanto più che delle formule alle quali 

 così si perviene mi varrò prossimamente nello studio di alcuni problemi 

 idrodinamici (moto dei solidi nei liquidi viscosi) che si possono ricondurre 

 alla stessa questione analitica. 



Si consideri l'equazione 



della quale si voglia determinare l'integrale soddisfacente alle condizioni 

 (2) ( u ) z=0 = (p(t) ; (u) z=h = xp(t) ; (u) t=6 = *(*) , 



essendo h una costante positiva, y ,ip ,% funzioni arbitrarie ( 2 ) degli argo- 

 menti indicati. 



Chiamiamo per un momentn f , x le variabili (anziché z e t) da cui 

 dipendono u ed f, e consideriamo un campo or in cui non cada alcuna sin- 

 golarità di queste funzioni. Prendiamo (vedi figura) come campo a il ret- 

 tangolo delimitato dalle rette £==0,C=A,t = 0,t = £, essendo t para- 

 metro positivo. 



(') Sur les équations différentielles du type parabolique, Paris, 5 dee. 1904. 

 ( 2 ) Si intende arbitrarie in senso fisico; in particolare tali da rendere effettivamente 

 eseguibili le operazioni di calcolo indicate nel testo. 



