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Meccanica. — Un teorema sulle deformazioni elastiche dei 

 solidi isotropi. Nota di E. Almansi, presentata dal Socio Y. Vol- 

 terra. 



1. Per le funzioni armoniche sussiste il teorema: 



Se (f è una funzione armonica e regolare nello spazio S limitato 

 dalla superficie e, e se nei punti di una regione g 0 di g la funzione 9? 

 e la sua derivata rispetto alla normale interna sono nulle,, la funzione q> 

 è nulla in tutto lo spazio S . 



Di questo teorema, una dimostrazione, basata su considerazioni non del 

 tutto rigorose, è date dal Kirchhoff (Mechanik, pp. 187-88). Un'altra dimo- 

 strazione è la seguente. 



Consideriamo, oltre ad S, lo spazio S' compreso fra c 0 ed una super- 

 ficie g' situata fuori di S . 



Detta n la normale interna nei punti di e, ed r la distanza da un 

 punto P, di S 0 di S' ad un altro punto qualunque P, prendiamo ad esa- 

 minare la funzione ip definita nel punto Pi della formula: 



Essa è armonica e regolare in S e in S', ed è continua, con tutte le 



sue derivate, anche sulla superficie G 0 ,me (/) = — =0. Ma nello spazio S 



~tin 



la ip non è altro che la (p ; e nello spazio S' la tp è nulla, giacché la funzione 



armonica ^ , quando il polo P! si trova fuori di S, è regolare in S, e perciò 



l' integrale esteso a e, che figura nella formula precedente, è allora uguale 

 a zero. 



Per una nota proprietà delle funzioni armoniche, la ip annullandosi 

 in S' dovrà pure annullarsi in S. Dunque la <p è nulla in tutto lo spazio S., 

 c. v. d. 



2. Sulle deformazioni dei solidi elastici isotropi possiamo dimostrare 

 un teorema analogo. 



Un corpo elastico isotropo, non soggetto a forze di massa, occupi 

 lo spazio S limitato dalla superficie g. In tutti i punti di una regione g 0 

 di g siano nulli gli spostamenti e le tensioni esterne. Dico che la defor- 

 mazione è nulla in tutto il solido. 



Consideriamo ancora, fuori di S, lo spazio S' compreso fra c 0 e g\ e 

 diciamo r la distanza da un punto Pi di S 0 di S' ad un altro punto qua- 

 lunque F(cc ,y,z). 



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