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Denotiamo poi con u,v,w le componenti di spostamento dei punti di S , 

 con L , M , N le componenti della tensione esterna che agisce sugli elementi 

 di a. Infine poniamo 



1 



1 



ì 







D- 



r 



r 



r 





v = — , 



w — — 







1>& 



e sieno L' , M' , N' le quantità analoghe ad L , M , N , ma formate cogli 

 spostamenti vi , v' , to'. 



Esaminiamo la funzione xp definita nel punto Pi della formula 



tp = \ (W + Mv' + Nw') da — f (L'w + Wv + Ww) de. 



Questa funzione è armonica e regolare in S ed in S', e sulla super. <f 0 

 (ove u = v = w = L = M. = N = 0) è continua con tutte le sue derivate. 

 Nello spazio S' essa si annulla, ciò che si vede immediatamente applicando 

 il teorema del Betti alle due deformazioni (u,v,w) ed (u' ,v' ,w'), delle 

 quali anche la seconda, quando il polo Pi si trova nello spazio S', è regolare. 



Dunque la xp dovrà annullarsi anche nello spazio S. E perciò nello 

 spazio S sarà pure nulla la dilatazione 0, che in virtù di una nota formula 

 è la stessa xp a meno di un fattore costante. 



Dalle equazioni dell'elasticità 



A^ + (A + B) — = 0, ecc., 



deduciamo che in tutto lo spazio occupato dal solido le componenti di spo- 

 stamento u , v , w devono essere funzioni armoniche. 



Ora nei punti di c 0 le tre funzioni u ,v ,w , per ipotesi, si annullano. 

 E si annullano pure le loro derivate rispetto alla normale interna. Infatti, 

 poniamo per un momento l'origine delle coordinate in un punto P 0 di tf 0 > 

 e prendiamo come asse delle s la normale interna (noi supponiamo che la 

 superficie c 0 ammetta in ogni suo punto un piano tangente determinato). 



