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campo C — r che si ottiene da C escludendo con un piccolo cerchio r il 

 punto (x x y x ). Si ottiene facilmente allora, facendo tendere a zero il campo t, 

 una formula analoga alla ben nota formula della teoria delle funzioni armo- 

 niche, esprimente la s soluzione di (1) per mezzo di un integrale di area 

 esteso a C . e di integrali curvilinei estesi al contorno c di 0 : 



(5) s(xi yi) = A(wi y.i) \ \u ì\xy) dx dy -f- Mdy — ~Ndz 



k(x x y x ) essendo una funzione dipendente dalla u(xy \ x x y x ) soltanto e non 

 più dalla z(xy). 



Io mi sono proposto di mostrare l'esistenza delle soluzioni fondamen- 

 tali e di trarre dalla formula (5) che così si deduce, alcune conseguenze 

 circa le proprietà delle funzioni z(xy) soluzioni di (1) . Esporrò qui breve- 

 mente il metodo da me seguito ed i risultati ottenuti rimandando ad una 

 più estesa Memoria di prossima pubblicazione per il minuto sviluppo di 

 queste considerazioni. 



2. Una soluzione fondamentale di (2) ha un punto singolare isolato : un 

 noto teorema del Delassus ci fa allora presumere che non si avranno solu- 

 zioni fondamentali altro che quando la equazione (2) sia totalmente ellittica : 

 abbia cioè tutte le caratteristiche immaginarie in C . Noi supporremo quindi 

 senz'altro che le radici dell'equazione delle caratteristiche 



siano tutte complesse in C , e siano ivi funzioni finite e continue insieme 

 colle loro derivate di ordine < 2n -\- 1 , ed abbiano sempre multiplicità co- 

 stante. Indicheremo con «, a,... a ìn le radici di (6) . 



Ciò premesso noi cercheremo di porre la soluzione fondamentale u(xy ;x x y x ) 

 di (2) sotto la forma 



(7) u(xy ;x x y x ) = ip(xy ; x x y x ) -f- ip(xy;£, rj) /(^ \x x y x ) d$ 



valendoci delle due funzioni indeterminate f e ip per modo di raccogliere 

 sopra la xp(xy ; x x y x ) tutte le condizioni dipendenti dal comportamento im- 

 posto alla u(xy ; x x y x ) nei punti (xy) = (x x y x ) , sulla f(^ x ;x x y ì ) la con- 

 dizione cbe la u soddisfaccia alla equazione (2). A ciò siamo indotti dalla 

 osservazione che, ove la funzione f(£rj ; x x y$ sia finita e continua in tutto 

 C , od anche diventi infinita di ordine < 1, nei punti (£ry) == (x x y x ) , la fun- 



zione W(xy ; x x y x )= xp(xy ; f(h] ; x x y x ) d% drj e le sue derivate 



hanno in (xy) = (x x y x ) una singolarità con infinito di ordine minore di 



(6) 



X a i™ ( XÌ J) a ' == 0 



