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quello della ip(xy ; x x y x ) e delle derivate corrispondenti, per modo che real- 

 mente, ove la ip(xy ; x x y x ) abbia il comportamento imposto alla u(xy ; x x y x ) 

 e la f{%r] ; x x y x ) siasi potuta determinare in modo che soddisfaccia — quanto 

 al modo di comportarsi in (£>j) = (xi y x ) — alle condizioni ora esposte, anche 

 la (7) ha in (xi y x ) = (xy) il comportamento imposto alla u(xy ; x x y x ) . 



Trarremo di qui immediatamente una condizione cui deve soddisfare 

 la xp . Poiché la u ha derivate di ordine 2n — 1 infinite di ordine 1 nel 

 punto (xy) = (x x y x ) , essa, e similmente la xp , avrà derivate di ordine 2n 

 infinite di 2° ordine: ed affinchè la u soddisfaccia all'equazione (2) occorre 

 che la somma dei termini di G{it) che hanno singolarità di 2° ordine in 

 (xy) == (x x iji) abbia una singolarità di ordine <^ 2 . Ora, se la u ha la forma 



(7) , la somma dei termini di massima singolarità in G(it) è proprio 

 A(xp(xy ; x\ y x )); quindi la funzione xp(xy;x x y x ) dovrà avere le derivate 

 di ordine 2n singolari di 2° ordine in (xy) = (x x y x ), ma tali che l'espres- 

 sione A(xp(xy ; x x y\)) abbia una singolarità di ordine <C 2 soltanto. Guidato 

 da questo concetto ho determinato nel modo che ora esporrò brevemente 

 la funzione xp\ la condizione che la u(xy ; x x yO'data da (7) soddisfaccia 

 a (2) si traduce allora in una equazione integrale per la ; x x y x ) , che 

 pel fatto medesimo che A(xp) ha una singolarità di ordine < 2 in (xy) = 

 (x x y x ) rientra nel tipo studiato dal IVedholm e dall' Hilbert. 



3. Il Somigliana ('), studiando un caso particolare del problema di cui 

 qui trattiamo, era riuscito a determinare le soluzioni fondamentali delle equa- 

 zioni totalmente ellittiche omogenee nelle derivate di ordine 2», ed a coeffi- 

 cienti costanti : in tal caso l'espressione G(u) diviene G(u) = A(u) ed i 

 coefficienti di A(u) e quindi anche le radici della equazione delle caratteri- 

 stiche sono costanti. Supponiamo, per fissare le idee, che queste radici siano 

 tutte semplici : la soluzione del Somigliana ha allora la forma seguente 



(8) ip(xy ; x x y x ) = £ d é ^(xy ; x x y x y n ~ 2 log <s s {xy ; x x y t ) 



i 



dove ffj=(x — £i) a j-\-y — fiì e dove i coefficienti dj sono formati anche 

 essi colle radici uj di (6) e determinati in modo che la funzione (8) risulti 

 monodroma in tutto il piano reale. 



Supponiamo ora che le a\ m e quindi le a,- non siano costanti e consi- 

 deriamo ancora la funzione (8) medesima, essa non soddisferà più, come 

 quando la aj e quindi le dj erano costanti, all'equazione A(xp) = 0. Ma è 

 facile vedere, scrivendo esplicitamente le derivate successive della funzione (8) 

 che i termini di massima singolarità si ottengono eseguendo la derivazione 



(!) Somigliana, Sui sistemi simmetrici di equazioni a derivate parziali. Annali 

 di Matematica, tomo XXII, § 2. 



