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come se le aj e quindi le clj fossero costanti. Ne segue che la funzione xp 

 data da (8) ha le singolarità volute in (xy) = (Xi y t ) , ma che formando la 

 A(\p), questa ultima espressione non avrà che una singolarità di ordine :fl 1 ; 

 appunto come si era riconosciuto necessario nel n° precedente. Assumeremo 

 quindi la (8) come funzione ip(xy ; x x t/i) . Analoghe considerazioni valgono 

 quando la radici non sono tutte semplici. 



4. Si consideri ora la funzione 



Si dimostra facilmente: 



1°. La funzione W(xy) è una funzione finita e continua in C insieme 

 colle sue derivate dei primi 2n — 1 ordini, in tutti i punti in cui la funzione 

 f{xy) è finita e continua : le derivate si ottengono derivando sotto il segno. 

 Nei punti in cui f(xy) diviene infinita di ordine jfl 1 le derivate (2n — 1) 

 esime di W hanno una singolarità al più logaritmica. 



2°. Nei punti dove la funzione f{xy) ha derivate finite, [od anche è 

 tale che i suoi rapporti incrementali rimangono sui raggi per (xy) unifor- 

 memente integrabili anche ridotti ai loro valori assoluti^ la funzione W(xy) 

 ammette derivate di ordine 2n. Ed in questi punti si ha 



k(xy ; ìrj) essendo una funzione che in (xy) = (£rj) non ha che una singola- 

 rità al più di 1° ordine. 



Applichiamo questi risultati alla funzione (7). Ammettendo per un mo- 

 mento che la funzione f(Ì7] ; x x yj sia tale che all' integrale del secondo 

 membro si possano applicare i teoremi enunciati sopra per la derivazione della 

 funzione W(xy), noi otteniamo che la condizione che la (7) soddisfaccia 

 alla (2) si traduce in una equazione integrale del tipo 



(11) f(xy ; x x y x ) + % Y (xy ; £/;) f(ìrj ; x x y x ) dì drj + q(xy ; x, y x ) = 0 



dove la x> è una funzione che nel punto (xy) = (ìy) diviene infinita di 

 ordine <. 1 , ad essa si può quindi applicare la teoria di Fredholm. 

 Distinguiamo allora due casi: 



1°. La equazione (11) ha il determinante =^ 0 : essa è quindi riso- 

 lubile: si verifica a posteriori che la funzione f(xy ; x x y x ) risolvente la (11) 

 soddisfa a quelle proprietà relative al suo comportamento nei punti di C 

 per cui è legittima la deduzione di (11) da (2). Il problema è così total- 

 mente risoluto. 



