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2°. La equazione (11) ha il determinante =0. Esisterà allora un 

 numero finito m di funzioni eccezionali y> che risolvono l'equazione omogenea 



(f{xy) -f- Jj Vi '■> %V) 5P(*'i Vi) dxi chji = 0 : siano esse ^, y> 2 . . . g> m . 

 Affinchè la equazione (11) ammetta soluzione è necessario e sufficiente che sia 



fJ c <Pi(zy) Q(xy ; x ì y Y ) dx cly = 0 



qualunque siano i ed {x x yù- In questo caso conviene modificare legger- 

 mente la forma (7) imposta ad u(xy ; x y yi) : cercheremo di porre la funzione 

 nella forma 



(7') u(xy ; x x y x ) = ip{xy ; x, y.) -f- jjf(xy ; irj) /(£>? ; x x ìjù fé dy — 



m 



— ^Mx^y^v^xy) 

 i J 



le Vj(xy) essendo funzioni arbitrarie ('), e le lj{xi yi) essendo da determi- 

 narsi convenientemente. Applicando a (7') i processi applicati a (7) otteniamo 

 una equazione analoga a (11): 



(11') f(xy ; Xi y x ) + fJ c Xi(xy fr) f(fy \x,y x ) -\-d$ drj + 



+ 



q{xy ;x 1 yò — 21 j Vi) t&eg) = 0 



dove le tj(xy) sono funzioni formate colle Vj(xy) e colle loro derivate. Si 

 determinano allora le funzioni Xj{xi y y ) in modo che siano soddisfatte le 

 equazioni 



I, ,ùffyi«ì ^| & * - *r ; »i ,0 ** * ('). 



Dopo di che (IT) sarà certamente risolubile, e determinerà una funzione / 

 che soddisfa alle solite condizioni sotto le quali sono legittimi i ragionamenti 

 precedenti. Quindi anche in questo caso il problema della ricerca delle 

 soluzioni fondamentali è completamente risoluto. 



Si verifica che la funzione così costruita, sia essa data da (7) oppure 

 da (7'), è tale che la funzione A.(xì yi) che da essa dipende e compare in (5) 

 esiste ed è regolare in tutto C. Onde si conchiude che la soluzione fonda- 



(') Sottoposte alla sola condizione di 'disuguaglianza di cui nella nota che segue. 

 ( s ) Queste equazioni sono risolubili appena che le Vj(xy) sono scelte per modo che 



il determinante i cui elementi sono = j^J^ (pi{xy) tj{$y) dx dy , sia diverso da zero. È 



questa l'unica condizione cui sono sottoposte le s e cui si è fatto cenno nella nota pre- 

 cedente. 



