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mentale trovata è atta alla deduzione della formula (5) come noi abbiamo 

 rapidamente indicato nel n° 1. 



5. Una delle più importanti applicazioni della formula (5) sta nella 

 dimostrazione del carattere analitico delle soluzioni di (1). Sulla formula 

 analoga per le funzioni armoniche e più in generale per le soluzioni 

 delle equazioni di secondo ordine prive di termine noto, si fonda l'ordi- 

 naria dimostrazione dell'analiticità di queste funzioni; essa è allora imme- 

 diata conseguenza del carattere analitico della soluzione fondamentale e del 

 fatto che in questo caso manca in (5) l' integrale di area. Quando vi è ter- 

 mine noto si dovette ricorrere fin qui a sviluppi in serie convenienti, perchè 

 il presentarsi dell' integrale di area nella (5) pareva rendesse impossibile una 

 estensione della formula medesima al campo complesso. 



Volendo dimostrare il carattere analitico delle soluzioni di (1), noi 

 dovremo studiare il carattere analitico delle soluzioni fondamentali trovate : 

 ma allora la forma stessa (7) o (7') che a queste noi abbiamo assegnato ci 

 porta ad occuparci di un integrale di area affatto simile a quello che com- 

 pare in (5), onde ci sarà poi affatto indifferente supporre che (1) abbia o no 

 termine noto. 



Con ragionamenti su cui qui non possiamo insistere si vede che tutta 

 la questione viene ad aggirarsi sulla natura analitica della ip(xy ; x x y x ) e 



degli integrali del tipo W(xy) = xp(xy ; x x y x ) f(x x y x ) dx x dy x ,f(x x y x ) 



indicando una funzione analitica di x x y x . La funzione ip{xy ; x x y x ) è una 

 funzione analitica sia di xy , che di x x y x ; però nel campo complesso le in- 

 finite determinazioni che essa può avere corrispondentemente alle varie deter- 

 minazioni dei logaritmi che compaiono in (8) , non restano più distinte, come 

 invece accadeva nel campo reale. Onde se noi ad (xy) nell' integrale che defi- 

 nisce W(xy) diamo valori complessi esso perde ogni senso. Io dimostro che 

 però in un certo campo complesso contenente il campo C ('), la funzione W(xy) 

 si può prolungare analiticamente : e precisamente per tali punti essa è data 



dal punto (xy) proietta i punti del contorno e di C . Fondandomi su questo 

 teorema riesco a dimostrare l'analiticità delle soluzioni di (1). 



Noterò che dal teorema medesimo scende in particolare l'estensione al 

 campo complesso della ordinaria formula di- Green : per essa il valore in un 

 punto (x x y x ) di una soluzione dell'equazione 4 2 s = f(xy) — dove f(xy) è una 

 funzione analitica di x ed y — è rappresentato pei punti (x x y x ) che hanno 



(') I punti di questo campo complesso soddisfano alla condizione che la loro di- 

 stanza dal piano reale è minore eguale ad una certa frazione della distanza della proie- 

 zione del punto sul piano reale dal contorno c di C . 



ip{xy ; x x y x ) f(x x y x ) dx, dy x esteso al cono r(xy) che 



