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Matematica. — Un'osservazione sugli inviluppi dei sistemi al- 

 gebrici di curve appartenenti ad una superficie algebrica. Nota di 

 0. Kosati, presentata dal Socio E. Bertini. 



In una recente Nota (') il prof. Castelnuovo è riuscito a dare la pro- 

 prietà caratteristica dei sistemi algebrici semplicemente infiniti di gruppi 

 di punti equivalenti appartenenti ad una curva algebrica, facendo vedere che 

 sopra una curva del genere n una serie oo 1 irriducibile di gruppi di n punti, 

 di indice v, possiede un numero di punti doppi <- 2v[n -\-n — 1] , il limite 

 superiore essendo raggiunto quando e soltanto quando la serie è costituita 

 da gruppi fra loro equivalenti. 



Il detto teorema è stato dal sig. Torelli ( 2 ) generalizzato ai sistemi 

 algebrici di gruppi di punti più volte infiniti, e da tale generalizzazione egli 

 ha dedotto un criterio aritmetico per decidere quando un sistema algebrico 

 di curve sopra una superfìcie algebrica sia contenuto in un sistema lineare. 



Un'altra proprietà caratteristica dei sistemi algebrici di curve contenuti 

 in un sistema lineare, e subito estendibile a varietà qualunque, si può pure 

 dedurre con considerazioni semplicissime dal teorema di Castelnuovo, la quale 

 proprietà, per quanto dedotta in modo quasi immediato, mi pare possa pre- 

 sentare un qualche interesse. 



1. Si abbia sopra una superficie algebrica P un sistema algebrico irri- 

 ducibile S di curve algebriche, e si indichi con v il suo indice, (numero 

 delle curve uscenti da un punto generico di F), e con n il suo genere, cioè 

 il genere della curva y> i cui punti rappresentano le curve di S. Ad una 

 curva generica di S corrisponde un punto di y> , ma può darsi che a qualche 

 curva speciale di S corrisponda più di un punto di y . Se ad una curva C 

 di S corrispondono k punti di y> dei quali a y siano tra loro infinitamente 

 vicini, a 2 pure infinitamente vicini, ecc. (o^ -j- « 2 -}-'•• = k) , la curva C 

 sarà un elemento multiplo del sistema S , e i numeri a x — 1 , a 2 — 1 , ecc. 

 1) si diranno i suoi ranghi sulla superficie F. Chiameremo inviluppo 



(') Cfr. Castelnuovo, Sulle serie algebriche di gruppi di punti appartenenti ad 

 una curva algebrica (Atti della E. Accademia dei Lincei, 1906). 



( 2 ) Cfr. la Nota di Torelli, Sui sistemi algebrici di curve appartenenti ad, una 

 superficie algebrica (Atti della E. Acc. delle Scienze di Torino, 1907), nella quale trovasi il 

 notevole risultato : Sopra una superficie algebrica, della quale I indichi l'invariante 

 di Zeuthen-Segre, un sistema algebrico irriducibile a» di curve di genere p prive di 

 punti multipli variabili, che abbia il grado n, Vindice v e a punti base, possiede al 

 più p(n -f- a -\- ip -(- 1) curve dotate di punto doppio. Se il limite è raggiunto, e solo in 

 tal caso, il sistema è contenuto totalmente in un sistema lineare. 



